數學資料庫手記: AM-GM 不等式的幾個證明（四）

上回看過 AM-GM 不等式的一個「普通數學歸納法」證明。這裡我們再看三個類似的證明。一如之前，設 x_i 為正數，並已知 AM-GM 不等式對 n=1 和 n=2 成立。

假設 n=k 時 AM-GM 不等式成立，並考慮 n=k+1 時的情況。如果 $x_1=x_2=\cdots=x_{k+1}$ ，則 AM-GM 不等式顯然成立，否則不妨設各數中 x₁ 最小，x_k+1 最大，那麼這 k+1 個數的平均（不論是算術平均或是幾何平均）均大於 x₁ 而小於 x_k+1。以下用三個方法證明 n=k+1 的情況。

方法一

設 $G_{k+1}=\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}}$ 。由歸納假設可知

$\frac{{x_1x_{k+1}}}{{(G_{k+1})^2}} + \frac{{x_2 }}{{G_{k+1}}}+\cdots+\frac{{x_{k+1}}}{{G_{k+1}}}\ge k\cdot\sqrt[k]{{\frac{{x_1x_2\cdots x_{k + 1} }}{{(G_{k+1})^{k+1}}}}} = k$ ，

從而 $\frac{{x_1 }}{{G_{k + 1} }} + \cdots + \frac{{x_{k + 1} }}{{G_{k + 1} }} \ge k - \frac{{x_1 x_{k + 1} }}{{(G_{k + 1} )^2 }} + \frac{{x_1 + x_{k + 1} }}{{G_{k + 1} }} \ge k + 1$ ，其中最後一個不等式成立是因為

$\frac{{x_1 + x_{k + 1} }}{{G_{k + 1} }} - \frac{y}{{(G_{k + 1} )^2 }} \ge 1 \Leftrightarrow (G_{k + 1} - x_1 )(G_{k + 1} - x_{k + 1} ) \ge 0$ 。

方法二

設 $R=\frac{\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k}}{x_{k+1}}$ ，則 $0<R<1$ ，故此

$\100dpi \begin{align*} x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}&\ge(kR+1)x_{k+1}\\ &=\left[\left(1-R^{\frac1{k+1}}\right)\left(1+R^{\frac1{k+1}}+\cdots+R^{\frac{k}{k+1}}\right)\right]x_{k+1}\\ &>\left[\left(1-R^{\frac1{k+1}}\right)(k+1)R^{\frac{k}{k+1}}\right]x_{k+1}\\ &=(k+1)\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}} \end{align*}$

方法三

$\100dpi \begin{align*} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}}{k+1}&\ge\frac{k\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}+x_{k+1}}{k+1}\\ &=\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}+\frac{x_{k+1}-\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}}{k+1}\\ &=\sqrt[k+1]{\left(\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}+\frac{x_{k+1}-\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}}{k+1}\right)^{k+1}}\\ &>\sqrt[k+1]{\left(\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}\right)^{k+1}+(k+1)\left(\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}\right)^{k}\left(\frac{x_{k+1}-\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}}{k+1}\right)}\\ &=\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}} \end{align*}$

除了用數學歸納法外，AM-GM 不等式還可以用其他方法來證明，我們下回再看。

數學資料庫手記

2009年10月1日星期四

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