世界紀錄

以下列出部分賽跑項目的世界紀錄（可參考國際田聯網頁）：

男子 100 米：　　　　　9.69 秒
男子 200 米：　　　　　19.30 秒
男子 400 米：　　　　　43.18 秒
男子 4 x 100 米接力：　 37.10 秒
男子 4 x 400 米接力：　 2 分 54.29 秒

看著這些數字，可以問一些有趣的問題：

(1) 為何 400 米的世界紀錄大於 100 米的世界紀錄的 4 倍？

這個當然是因為跑 100 米的「極速」不能維持太長時間，簡單點說就是「跑得久會累」。

(2) 為何 200 米的世界紀錄小於 100 米的世界紀錄的 2 倍？

這個很有趣，原因是從起跑達至「極速」是需要數秒時間的。這個加速的過程會拖低平均速率，而這在較短途的 100 米會較為明顯。不過「跑 200 米速率高於跑 100 米」，相信只有高手才能做到，一般人跑 100 米的速率都會較跑 200 米為高（原因是一般人不能把跑 100 米的「極速」維持至 200 米）。

(3) 為何 4 x 100 米接力的世界紀錄小於 400 米的世界紀錄？

這個很簡單，因為有四人接力，所以「跑得久會累」的問題不會出現。

(4) 為何 4 x 100 米接力的世界紀錄小於 100 米的世界紀錄的 4 倍？

其實四人所跑的距離之和是略小於 400 米的，這是因為接力棒本身長約 0.3 米。更重要的因素是負責第二、三、四棒的選手可以在接棒前加速。

(5) 為何 4 x 400 米接力的世界紀錄大於 400 米的世界紀錄的 4 倍？

最佳的解釋相信是因為 400 米的世界紀錄實在太快，而在同一隊中很難找到四個跑得這樣快的選手！

還有一個相關的問題，就是在跑步機上所造出的時間一般會比在田徑場上所造的快了一大截。這又有甚麼原因呢？我嘗試提出幾個：

• 在跑步機上不用轉彎，從而省下不少力量
• 在跑步機上，身體的重心不用向前移，省下不少力量
• 跑步機一般置於室內，沒有風阻

奇怪的賽制

上週三和上週六香港有四隊奧運隊進行了四場比賽，並計分以得出冠亞季軍。一般來說，四隊球隊打單循環，應該有₄C₂=6場比賽才對。但因為當中有兩隊在奧運足球賽第一輪被編在同一組，所以不安排這兩隊在香港對賽。結果每隊只打兩場。

這兩天天氣酷熱（星期六稍稍涼一點），但見很多球員有心無力，連起跑也慢了起來。大概賽會也估計到這個情況，所以計分方法有點獨特，以鼓勵球隊多進攻和爭取入球。

上週三我們聽主持講，計分方法是這樣的：勝出得3分，賽和兩隊各得1分，而負方得0分；而球隊每入一球則可另加1分。週三的賽事後，同行有兩個人，都不是讀數學的，但竟然無端端計起數來。計甚麼呢？

這個賽制有一個奇怪的地方：有可能球隊連敗兩場卻得到冠軍；但連勝兩場的卻會包尾！如：

A 5 - 6 B
A 5 - 6 C
B 0 - 1 D
C 0 - 1 D

這樣的話，A得10分，B和C各得9分，而D得8分。連敗兩場的A得冠軍，連勝兩場的D包尾。（註：在現場睇波時聽到某名觀眾講入球加分是要勝出賽事後才有；但後來證實了和波亦有入球加分，但仍無法證實輸波有否入球加分。若各位有關於賽制的確切資料，歡迎提供。）

思考題：已知四隊中某隊連敗兩場卻得到冠軍。問它在兩場賽事中最少入了多少球呢？

造馬

歐聯八強抽籤結果鬧出造馬疑雲（可參考這篇報導），有網友「未卜先知」，在抽籤前個多小時先行公佈「內定抽籤結果」（阿仙奴對利物浦、曼聯對羅馬、車路士對費倫巴治、巴塞隆拿對史浩克 04），最終竟與真正的結果不謀而合。歐洲足協否認造馬指控，指有關事件純屬巧合。以上報導中指猜中抽籤結果的機會是 28 分之 1（There is a one in 28 chance of correctly guessing the Champions League draw at this stage.），可是那是不正確的。

如何計算 8 隊分成 4 對的可能性數目呢？其中一個方法是先抽 2 隊成對，共有 C(8,2) = 28 種可能；然後從餘下 6 隊中再抽兩隊成對，有 15 種可能；再從餘下 4 隊中抽兩隊成對，有 6 種可能；最後剩下的 2 隊成對。這樣便有 28 x 15 x 6 = 2520 個可能，但由於 4 對的次序不拘，因此每種抽籤結果我們都數了 4! = 24 次，從而抽籤結果只有 2520/24 = 105 個不同的可能。換句話說，猜中抽籤結果的機會應是 105 分之 1。

另一種數算的方法是先隨便選一隊（例如是英文字母序最先的一隊），然後選那隊的對手，這樣有 7 個可能；然後從餘下 6 隊中再選英文字母序最先的一隊，那麼這隊的對手便有 5 個可能；再之後餘下 4 隊中英文字母序最先的一隊的對手有 3 個可能；最後剩下的 2 隊對賽。由此可見，抽籤結果共有 7 x 5 x 3 = 105 個不同的可能。

從第二種方法可知，把 2n 隊分成 n 對對賽的方法共有

1 x 3 x 5 x ... x (2n-1) = (2n-1)!! 種

這裡 k!! 是個「double factorial number」（見註）。而比較兩種數算方法，我們亦可得到等式

C(2,2) x C(4,2) x ... x C(2n,2) = n! (2n-1)!!

這種「算兩次（double counting）」的方法在組合數學裡是很常用的，可以證明很多奇妙的等式或不等式。

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註：有關「double factorial」的資料，可參考這裡。如果只考慮奇數的 double factorial，即 1!!, 3!!, 5!!, ...，也就是把 2n 人分成 n 對的方法數目，也可參考 The Online Encyclopedia of Integer Sequences 的 A001147。順帶一提，這個「百科全書」很有用，大家可以輸入一串整數（例如：1, 1, 2, 3, 5, 8），然後系統便會搜尋包含這些連續項的數列。

外圍賽的出線問題－－為何沒有附加賽？

　　經過一年多的比賽後，歐洲國家盃的外圍賽戰況接近尾聲，體育雜誌和報章都開始討論各組機會最大的出線組合。與過去三屆歐洲國家盃外圍賽和三屆世界盃足球賽歐洲區外圍賽不同，今屆沒有附加賽，七組首次名共 14 隊出線由外圍賽出線決賽周（再另加主辦國瑞士及奧地利，共 16 國參賽）。但我卻認為不設附加賽是一種退步。

　　小型比賽不需要外圍賽，但歐洲國家盃卻是大型比賽。除兩個主辦國外，歐洲足協共有 50 個成員，如果全部都參加決賽周，比賽將會過多，並不切實際。因此我們需要以某些方式決定決賽周的參賽隊伍，這就是外圍賽。為保持決賽周的可觀性，合理的期望是從外圍賽出線的隊伍都是強隊。比較若干隊之間的強弱程度，最公平的方法當然是任何兩隊皆對賽，否則我們很難比較沒有對賽過的隊伍。這就是最常見的聯賽制度，如英超、德甲、西甲等都憑這種制度決出每屆的冠軍〔註一〕。可是如果歐洲足協要求所有成員參與一個大聯賽，即使是單循環的聯賽也要 25 輪比賽（雙循環則需 50 輪），賽事太多，根本沒可能在一年多的時間實行。當然，我們亦可以抽籤形式決定出線隊伍，簡單、方便、快捷。但這卻無視隊伍的強弱，減低了決賽周的重要性。

　　既然兩個極端都不行，我們唯有折衷，以分組比賽形式選出各組的強隊。由於設有根據往績而定的種子制度，分組後往績較好的隊伍通常都分散各組，不容易因同組而不能同時出線。分組作賽大幅減少比賽數量，又可使強隊從比賽中以其實力出線，一舉兩得。儘管如此，分組仍有其缺點。以今屆歐洲國家盃外圍賽為例，除主辦國瑞士和奧地利外的 50 個成員共分為 7 組（1 組 8 隊和 6 組 7 隊），每組首次名出線決賽周。換言之，因為蘇格蘭、法國和意大利同在 B 組，所以她們三隊必有最少一隊在外圍賽止步。可是純以外圍賽的表現計算，出局的隊伍可能僅比出線的隊伍略遜，但比其他小組次名（如 C 組的土耳其或挪威〔註二〕）表現更佳。我們有沒有辦法增加分組作賽的彈性呢？答案就是附加賽。

　　以往三屆歐洲國家盃外圍賽都有附加賽。以 2000 年那屆為例〔註三〕，當年除主辦國荷蘭和比利時外，共 49 個成員需爭奪 14 個決賽周席位。外圍賽則分為 9 組（4 組 6 隊和 5 組 5 隊），各組首名及最佳小組次名〔註四〕直接出線，餘下 8 組次名則配為 4 對進行兩場附加賽，勝者出線。在附加賽制度下，每組出線的隊伍數量並不固定，可為 1 至 2 隊。即使某隊因成績僅稍遜於小組首名，仍可靠擊敗另一組小組次名出線。反之，較弱的小組次名卻可能因此緣盡決賽周。由此可見，附加賽制度為分組賽的限制微調，提高了出線組合的彈性，但又不會大幅增加賽事數量。我們可從以下的數字略見一斑：2000 年那屆的外圍賽共需 228 場比賽，出線組合共 27097031250 個（約 271 億），但今屆外圍賽共需 350 場比賽，出線組合卻只有 2401451388 個（約 24 億）。

　　為何不可以當年的模式設立外圍賽？這令人難以明白。

註一：聯賽制度牽涉計分，但如何計分才公平的問題離本文主旨太遠，另文再談。
註二：本文寫於 2007 年 10 月 15 日，外圍賽尚未完結，故 C 組次名純粹以當時的成績猜測。
註三：我不選擇以 2004 年該屆的外圍賽為例，原因是該屆的外圍賽共決出 15 隊出線隊伍（主辦國只有德國），出線隊伍多了，組合自然大增。因此這樣的比較不能顯示附加賽的重要性。
註四：如果在不同大小的組別裏決定最佳次名又可帶出另一個數學問題，另文再談。