概率與「一擲千金」

相信大家都聽過「一擲千金」遊戲。最近，我在某討論區發現有關這遊戲的一則討論： 「到了最後，外間已開了二十四個箱，都不是三百萬。三百萬不是在參與者的箱就是在外間餘下唯一的箱，機會是一半一半嗎？當然不是，在參與者的箱的概率仍是二十六分之一，在外間的箱則是二十六分之二十五。」

大家同意這說法嗎？在讀下去之前不妨停下來先想一想。

我們先看看另一個電視遊戲節目。在遊戲中，參賽者需在三個寶箱中選一個。已知其中兩個寶箱是空的，選中另一個則可贏得名貴房車。參賽者選了一個寶箱後，主持人在餘下兩個寶箱中 打開一個空的寶箱（主持人知道房車的位置，而餘下兩個寶箱中最少一個是空的）。這時還剩下兩個寶箱，分別是參賽者選了的一個和餘下主持人沒有打開的一個。主持人給參賽者一次改變主意的機會，讓他改選餘下沒有打開的寶箱，那麼參賽者應否改變主意？

很多人都認為，餘下兩個寶箱中獎的機會都是二分之一。當然，懂得數學的人都知道參賽者應該改選餘下沒有打開的寶箱，因為那個寶箱中獎的機會其實是三分之二而不是二分之一。

這 對非數學人來說是很難接受的，他們一定會說「明明兩者機會均等，為何概率不是二分之一？」之類的說話。通常我會用以下方法來說服他們：在一副 52 張的紙牌中讓「參賽者」先選一張（選中黑桃 A 便中獎），然後我在餘下 51 張牌中打開 50 張不是黑桃 A 的牌（我會先看過確保不是黑桃 A 才打開），這時只剩下參賽者選的一張牌和我沒有打開的一張牌，然後我給他們機會改選後者，這樣的話一般人大概都會明白改選後者是較為明智的（事實上，後者 中獎的機會是 51/52），儘管他們可能仍是一頭霧水。

現在回到「一擲千金」的遊戲。26 個寶箱打開了 24 個後，三百萬的寶箱還沒有打開。那麼參賽者一開始選定的寶箱是三百萬寶箱的機會，是 1/26 嗎？表面上看，這跟之前所說的沒有兩樣，都是在 n 個選擇中先選一個，然後「打開」了 n-2 個，最後餘下參賽者原先選了的個和沒有被打開的一個。（以上三個情況分別對應於 n = 3, 52, 26。）

然而，只要稍為分析一下，便知道「一擲千金」中的情況其實是不同的。假設餘下的兩個寶箱分別是一元和三百萬，則如果參賽者的寶箱是三百萬的概率真的是 1/26 的話，那麼同理參賽者的寶箱是一元的概率也應該是 1/26，則餘下的 12/13 機會去了哪裡？事實上，參賽者的寶箱是三百萬和一元的概率都是 1/2。

為甚麼「一擲千金」和之前的房車／紙牌遊戲不同呢？關鍵是那 n-2 個「不是房車／黑桃 A／三百萬」的東西是如何打開的。在房車／紙牌的例子中，是由主持人在知情的情況下打開的，但在「一擲千金」中，參賽者是在不知道寶箱內容的情況下打開的。事實上，在前兩者中，每次都可以打開 n-2 個「不是大獎」東西，但在「一擲千金」中，開了 24 個寶箱後仍未開出三百萬的機會只有 1/13 呢！

「自然對數」的符號

　　昨天在辦公室工作時，一位同學問我怎樣展開「IN (1 + x)」。我不加思索便告訴他「x + x²/2 + C」。怎料他說這不可能，我百思不得其解。後來他再說清楚後，我才發現他要的是「ln (1 + x)」（(1 + x) 的自然對數）的泰勒級數 (Taylor series)。可是他把自然對數的符號「ln」讀成「in」（音標為 /'in/），使我以為他想求 (1 + x) 的不定積分 (indefinite integral)。原來他一直以來都誤會了自然對數的符號的第一個字母是「i」。

　　這不是我第一次遇到的事。還記得唸中六時很多同學也這樣出錯，我只好不斷糾正他們，說這符號應讀成「natural log」（英文）。怎料在大學時這樣的錯誤仍在身邊偶然出現。假如我沒有推測錯誤，這個錯處是由平日的書本或計算機而來的。在數學書上，通常變數都會以斜體字母表示，而大部分常用的函數的符號都以正楷表示，如「sin x」、「cos x」、「exp x」等。這樣的慣例在香港學生慣用的科學計算機上（如 Casio fx-3600、fx-3650、fx-3900、fx-3950、Sharp EL5020 等）亦通用。可是自然對數的符號「ln」裏的「l」與大寫「I」太相似，甚至在部分字型裏更無法分辨。更壞的是「ln」的字母順序與「natural logarithm」的字首順序「nl」不同，才導致這樣的笑話。

　　其實我也不太明白為甚麼自然對數要寫成「ln」。根據史料記載，這個符號是一位 University of Berkeley 的美國教授 Irving Stringham (1847 - 1909) 在 1893 年出版的著作Uniplanar Algebra 首次使用（詳見這裏）。這本著作是用英語寫成的，為何他不把這符號按英語全寫的字首順序寫成呢？也許，當時德語才是數學界的共同語言，於是他便按德語的「logarithmus naturalis」作縮寫了。可惜網上有關 Stringham 的介紹太少，很難從他的寫作習慣推敲其原因。有人知道嗎？

圓周角是圓心角的兩倍的逆定理：解答

本文是《圓周角是圓心角的兩倍……的逆定理？》一文的續集。

「圓周角是圓心角的兩倍」這定理是可逆的，以下是其中一個逆定理的版本：

設 O 為某圓的圓心，B、C 為圓上的兩點。若 ∠BOC = 2∠BAC，則 A 也位於此圓的圓周上。（後記：此版本有誤，見文章的留言部分。）

證明這逆定理很簡單，只需用到原定理和「同弓形的圓周角（angles in the same segment）」定理即可，讀者不妨試試。

以上的版本是先固定圓心角，然後指出凡是圓心角的一半的皆是圓周角。我們可否先固定圓周角呢？考慮以下版本：

設 A、B、C 為某圓上的三點。若 ∠BOC = 2∠BAC，則 O 是這個圓的圓心。

很可惜，以上命題是錯的（只需考慮滿足 ∠BOC = 2∠BAC 的點 O 的軌跡）。要一個先固定圓周角的逆定理版本的話，就得加入一個條件：

設 A、B、C 為某圓上的三點。若 O 位於 BC 的垂直平分線上，且 ∠BOC = 2∠BAC，則 O 是這個圓的圓心。（後記：此版本有誤，見文章的留言部分。）

偏序集（Partially ordered sets）

現時，香港政府的架構以「三司十二局」為骨幹，每個決策局均設一名局長和一名常任秘書長，之下再設副秘書長和助理秘書長多名，再之下還設有更多職級。基本上，這些「高級」的職位有著緊密的從屬關係：局長是常任秘書長的直屬上司、常任秘書長是副秘書長的直屬上司、副秘書長是助理秘書長的直屬上司。這就好像是數學上的全序集（totally ordered sets）-- 集合裏任何兩個元素都可以比較大小。

今天，政府公佈擴闊政治委任制的建議，在局長下增設副局長和政治助理，兩者與常任秘書長之間沒有從屬關係（詳見 http://www.news.gov.hk/tc/category/administration/071017/html/071017tc01006.htm）。這就「破壞」了之前提及的全序集，因為常任秘書長和副局長兩者的職級不能比較高低。數學上，這是一個偏序集（partially ordered set）-- 集合中有些元素可以比較大小，但亦有可能有些不能比較（incomparable -- 注意讀音）的元素。

偏序集的「大小關係」（通常以「≥」表示）需滿足以下三個條件：

(1) 對偏序集中的任意元素 x，皆有 x ≥ x。
(2) 若 x ≥ y 且 y ≥ x，則 x = y。
(3) 若 x ≥ y 且 y ≥ z，則 x ≥ z。

全序集則需同時滿足「對偏序集中的任意元素 x 和 y，皆有 x ≥ y 或 y ≥ x」，即「任何兩個元素都可以比較大小」。全序集的例子很多，如實數集、所有英文字的集合（以字母順序比較大小）等。

有沒有些不是全序集的偏序集呢？也有很多，例如，若 S 是有兩個或以上的元素的集合，P(S) 為 S 的冪集（power set），即 S 的所有子集（subsets）的集合，並對 P(S) 中的元素 X、Y 定義 Y ≥ X 當且僅當 X 是 Y 的子集，那麼 P(S) 便是偏序集，然而它是不全序集。（例如：若 S = {1,2}，那麼 P(S) = {Φ, {1}. {2}. {1,2}}，其中 {1, 2} ≥ Φ、{1,2} ≥ {1}、{1,2} ≥ {2}、{1} ≥ Φ、{2} ≥ Φ，但 {1} 和 {2} 不能比較大小。）

值得注意的一點是全序集和偏序集包括本身和比較大小的關係「≥」。改變「≥」的定義後所得的會被視為另一個全序集或偏序集。在以上例子中，若對 P(S) 中的元素 X、Y 改為定義 Y ≥ X 當且僅當 Y 的元素之和不小於 X 的元素之和，則 P(S) 會變成一個全序集呢！

外圍賽的出線問題－－為何沒有附加賽？

　　經過一年多的比賽後，歐洲國家盃的外圍賽戰況接近尾聲，體育雜誌和報章都開始討論各組機會最大的出線組合。與過去三屆歐洲國家盃外圍賽和三屆世界盃足球賽歐洲區外圍賽不同，今屆沒有附加賽，七組首次名共 14 隊出線由外圍賽出線決賽周（再另加主辦國瑞士及奧地利，共 16 國參賽）。但我卻認為不設附加賽是一種退步。

　　小型比賽不需要外圍賽，但歐洲國家盃卻是大型比賽。除兩個主辦國外，歐洲足協共有 50 個成員，如果全部都參加決賽周，比賽將會過多，並不切實際。因此我們需要以某些方式決定決賽周的參賽隊伍，這就是外圍賽。為保持決賽周的可觀性，合理的期望是從外圍賽出線的隊伍都是強隊。比較若干隊之間的強弱程度，最公平的方法當然是任何兩隊皆對賽，否則我們很難比較沒有對賽過的隊伍。這就是最常見的聯賽制度，如英超、德甲、西甲等都憑這種制度決出每屆的冠軍〔註一〕。可是如果歐洲足協要求所有成員參與一個大聯賽，即使是單循環的聯賽也要 25 輪比賽（雙循環則需 50 輪），賽事太多，根本沒可能在一年多的時間實行。當然，我們亦可以抽籤形式決定出線隊伍，簡單、方便、快捷。但這卻無視隊伍的強弱，減低了決賽周的重要性。

　　既然兩個極端都不行，我們唯有折衷，以分組比賽形式選出各組的強隊。由於設有根據往績而定的種子制度，分組後往績較好的隊伍通常都分散各組，不容易因同組而不能同時出線。分組作賽大幅減少比賽數量，又可使強隊從比賽中以其實力出線，一舉兩得。儘管如此，分組仍有其缺點。以今屆歐洲國家盃外圍賽為例，除主辦國瑞士和奧地利外的 50 個成員共分為 7 組（1 組 8 隊和 6 組 7 隊），每組首次名出線決賽周。換言之，因為蘇格蘭、法國和意大利同在 B 組，所以她們三隊必有最少一隊在外圍賽止步。可是純以外圍賽的表現計算，出局的隊伍可能僅比出線的隊伍略遜，但比其他小組次名（如 C 組的土耳其或挪威〔註二〕）表現更佳。我們有沒有辦法增加分組作賽的彈性呢？答案就是附加賽。

　　以往三屆歐洲國家盃外圍賽都有附加賽。以 2000 年那屆為例〔註三〕，當年除主辦國荷蘭和比利時外，共 49 個成員需爭奪 14 個決賽周席位。外圍賽則分為 9 組（4 組 6 隊和 5 組 5 隊），各組首名及最佳小組次名〔註四〕直接出線，餘下 8 組次名則配為 4 對進行兩場附加賽，勝者出線。在附加賽制度下，每組出線的隊伍數量並不固定，可為 1 至 2 隊。即使某隊因成績僅稍遜於小組首名，仍可靠擊敗另一組小組次名出線。反之，較弱的小組次名卻可能因此緣盡決賽周。由此可見，附加賽制度為分組賽的限制微調，提高了出線組合的彈性，但又不會大幅增加賽事數量。我們可從以下的數字略見一斑：2000 年那屆的外圍賽共需 228 場比賽，出線組合共 27097031250 個（約 271 億），但今屆外圍賽共需 350 場比賽，出線組合卻只有 2401451388 個（約 24 億）。

　　為何不可以當年的模式設立外圍賽？這令人難以明白。

註一：聯賽制度牽涉計分，但如何計分才公平的問題離本文主旨太遠，另文再談。
註二：本文寫於 2007 年 10 月 15 日，外圍賽尚未完結，故 C 組次名純粹以當時的成績猜測。
註三：我不選擇以 2004 年該屆的外圍賽為例，原因是該屆的外圍賽共決出 15 隊出線隊伍（主辦國只有德國），出線隊伍多了，組合自然大增。因此這樣的比較不能顯示附加賽的重要性。
註四：如果在不同大小的組別裏決定最佳次名又可帶出另一個數學問題，另文再談。

圓周角是圓心角的兩倍……的逆定理？

大家知道，幾何裏很多定理的逆定理都是成立的，以下是一些簡單的例子：

畢氏定理：若 ∠BAC = 90^o，則 AB² + AC² = BC²。
畢氏定理的逆定理：若 AB² + AC² = BC²，則 ∠BAC = 90^o。

半圓角定理：若 BC 是一個圓的直徑，A 是圓周上的一點，則 ∠BAC = 90^o。
半圓角定理的逆定理：若 A、B、C 是一個圓周上的三點且 ∠BAC = 90^o，則 BC 是圓的直徑。

那麼以下定理又如何？

圓心角是圓周角的兩倍：若 A、B、C 是一個圓周上的三點且 O 是圓心，則 ∠BOC = 2∠BAC。

以上定理的逆定理是甚麼？它是否成立？大家先想想，答案下回揭曉。

把魔法放進那百寶袋

有一位朋友，從五月開始準備博士學位的實數分柝資格考試，九月底應考了。從試場一出來，劈面就說:「四道問題我只差不多完成一道。我想我不能及格了。」

老實說，這個實數分析的考試，對很多人來講，相當難。但四個多月的準備時間實在是很充裕了。那份試卷我看過，對比往年，不算難。四道做不完一題，是遜了一點。我的朋友為何會考得這樣差?

想了一想，是他的溫習方式出了問題。著名數學家陶哲軒說過，學習數學，有如把不同的魔法道具放進自己的百寶袋裏，往後能隨時隨地、隨心所欲的拿出來運用。我很同意。我朋友他把考試範圍的那幾課都差不多翻爛了;定理背得爛熟，那個定理在那一頁都說得出;這許多的舊試卷他不是全看過了都看了九成。然而，這有個屁用!考試還不是過不了?

他就是沒有把魔法道具放進百寶袋裏!他看懂了書內的定理，卻沒掌握到那些定理的妙用。他做舊試卷，看看問題，想一會想不通，或看答案，或問我。看明白了答案，就當自己明了, 卻沒吸收到答案中的精髓:解題的技巧。寶劍雖在，但他沒學懂怎樣發揮其威力。看著新的問題，他就一籌莫展了。

多做練習是掌握運用定理與技巧的不二法門。自己一手一腳把答案做出來，印象最深刻。有題目不懂，看答案不打緊，看明白後過一段時間，不妨拿那問題再做，你或會發覺，還是有些地方未攪明白。當你能隨時隨地把那個問題想通一遍，恭喜你，你已經把一些魔法放進了自己的百寶袋了。

2-Dimensional Mathematical Induction

在我讀中學的年代，有一種證明方法叫「數學歸納法」（用「在我讀中學附加數的年代」而不是「現時的中學附加數」這一個phrase，是因為在課程不斷cut、cut、cut下，我怕連M.I.都cut了，那麼用「現時的中學附加數」在未來就變得不適用了……）。個人覺得這是一種美麗的方法。首先，它的最基本只涉及自然數。Kronecker說過：「上帝創造了自然數，其餘的一切才是人做的工作」，可以輔證一個proposition涉及自然數是最自然最美麗的事情。而最基本的由 n = k 去到 n = k+1 ，體驗了數學是由低做起，慢慢build up上去的系統的嚴謹。

最近製造一份教中四學生「證明方法」的筆記，忽發奇想，不如在筆記中說一些特別的數學歸納法形式。最自然的就是我當年讀的附加數textbook中（註1），有一種題目類似：Prove that 3ⁿ+13 * 7ⁿ+2 is divisible by 8 for all odd n.而接下來的，當然就是二維數學歸納法了。所謂二維數學歸納法，就是想證明P(m,n)對於所有正整數m,n都是正確的話，先證明P(1,n)對所有n均正確，然後假設P(k,n)正確再證明P(k+1,n)正確（註2）。

問題是，翻看純數的past paper，所有涉及二維數學歸納法的題目都涉及其他技巧，不太適合中四學生。於是便想想自己構造一條題目出來吧。苦思良久，竟然巧合地發現我最近在科大做TA的一個course功課的某道題目，竟然可以用來作二維數學歸納法的例子！

題目是這樣的：有一個 m X n 的棋盤，其中 m 和 n 均是奇數。假設左上角的格是白色的，而棋盤的格子是黑白相隔。證明當從棋盤中移走任意一個白色方格，餘下的棋盤可以用 1 x 2的長方形密鋪。

我發給學生的題解，可以看看這裏的第一頁。這是證明方法的另一種，叫構造法，在此就不多述了。而早兩日這樣無意間發現可以有另一種使用二維數學歸納法的證明，實在太開心了。

若讀者當中有中學生，可以嘗試一下寫下用二維數學歸納法的證明，享受一下另一種數學歸納法的美麗。

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註1：我讀附加數是2001年的事，但我當時看的是一本1990年左右出版的附加數書（原因上面已經說了）。而讀純數時，老師派了一份"Past Paper結集"的筆記。我可以從筆記中看到九十年代、八十年代、甚至七十年代的past paper questions。到了後來，偶然自己在中學教奧林匹克數學，或從其他朋友聽見現時附加數沒有了甚麼甚麼甚麼（很多的甚麼），我可以說我見證著香港數學課程不斷刪減的事實。

註2：有許許多多其他的形式，這裏說一個便算了。

笑話一則

小明：媽媽，老師今天派了上星期的數學測驗卷……
媽媽：為何這次測驗的表現這樣差？
小明：沒法子，其實題目我是懂的，但我很不小心，很多道題都乘漏了個 1。
媽媽：為甚麼會這樣？
小明：唉，沒辦法，我已經帶了兩部計算機，怎料同時壞了，所以只好用筆算，自然容易算錯了。
媽媽：兩部計算機同時壞了？情況怎樣？
小明：我也不知道。我想計 1 的平方根，輸入 1 後按開方，卻沒有反應，兩部計算機都是這樣子。
媽媽：那怎麼辦？有同學懂得修理嗎？
小明：我給小強嘗試替我修理，他試著按 1/x 鍵，也是沒有反應。
媽媽：之後呢？
小明：他按了重設鍵 AC，然後再按開方鍵，仍是沒有反應；再試按 1/x 鍵，就出現 error 了。
媽媽：那就是沒法修理了？
小明：是啊，你還是給我錢買兩部新的吧。