2007年9月30日 星期日

培正數學邀請賽:經典重溫(二)

第一屆(個人賽中三組第 19 題、中四組第 20 題)

董先生參加某國家的總統選舉,得票率(準確至小數點後一個位)為 66.6%。問董先生最少得到多少票?

本題是另一道看下去不難,卻很有深度的題目。表面上它只是一道百分率和近似值的問題,而要找到「66.6%」的例子亦很容易:666/1000 和 333/500 就是最簡單的情況。可是如何找出董先生的得票的最小值呢?

如果大家對數字有一定的敏感度的話,應該會發現 66.6% 和三分之二很接近,但 2/3 四捨五入至小數點後一位的話卻是 66.7%,跟題目不符。因此,
董先生的得票應該「比三分之二少一點點」。這基本上也是大會題解背後的思路,大家不妨試試。

這道題是罕有沒有參賽者答對的題目之一。當然,從比賽的角度看這並非好事。然而題目事後卻引起了廣泛討論,有數學老師更想出了一些另類的解法,當中甚至跟表面看來毫不相干的 Pick's formula 扯上關係。這實在是數學其中一個最可愛的地方。

2007年9月22日 星期六

5 Times 14 Equals 25

這是幾個月前看過的一段YouTube短片,當時實在笑到肚痛。

警告:此片具有不良數學知識及證明,數學心智不成熟的朋友們不宜收看!

2007年9月18日 星期二

培正數學邀請賽:經典重溫(一)

培正數學邀請賽已經舉辦六屆,六年來出現過不少有趣的題目,「培正數學邀請賽:經典重溫」系列會為大家重溫一下這些題目。

第一屆(個人賽中一組第 14 題、中二組第 9 題)

求最小的質數 p,使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。

本題看下去不難,一個很自然的想法是代入 p = 2、3、5、7、……,看看有甚麼發現。可是即使很有耐性地試到 100 以上,似乎怎樣也找不到 p 使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。若再細心觀察一下,不難發現(也不難證明)除 p = 3 外,任何的質數 p 皆會使得 2002 - p 或 2002 + p 的其中一個是 3 的倍數。當年的一名中一組參賽者,就以此在答題紙上長篇大論,指出題目有誤,因為他可以證明這樣的 p 根本不存在。當然,題目其實是沒有錯的(大家是否已經想到答案呢?),但那位
中一的參賽者能寫出這樣的「證明」也殊不簡單,而他最後亦成為得獎者之一呢!

2007年9月14日 星期五

Card Trick Solution

開課後,很多莫明其妙的事情接腫而來,弄至一星期後才能更新這裏。

說一說上次那個"trick"的解答吧。正所謂「無氈無扇,神仙難變」,「使者」和「神秘通天眼」不會有任何接觸,能夠令「神秘通天眼」猜到底牌的,當然就是「使者」放在桌上的四張牌。


一副紙牌有52隻。有玩過「鋤大D」或「橋牌」都應該知道不難為這52隻牌定一個次序(例如先比較數字,A > K > Q > J > 10 > 9 > ... > 2;同數字的就比較花,桃花 > 紅心 > 葵扇 > 磚)。


撇除在桌上的4隻牌後,餘下48隻。用這4隻牌做一個排列(permutation),可以有24個可能性,然後我們可以根據下表,知道「底牌」只有兩個可能(下圖左列的 4 代表4隻牌當中最大的牌; 1 代表4隻牌當中最小的牌):


























4隻牌的排序代表「底牌」是餘下48張中的第n張牌。
12341,2
12433,4
13245,6
13427,8
14239,10
143211,12
213413,14
214315,16
231417,18
234119,20
241321,22
243123,24
312425,26
314227,28
321429,30
324131,32
341233,34
342135,36
412337,38
413239,40
421341,42
423143,44
431245,46
432147,48


就是這樣,「神秘通天眼」就可以根據「使者」在桌上的擺陣,在兩次內猜出「底牌」了。


用數學的語言,我們利用了 |P4| = 24和餘下48隻牌的兩個數字,構成了一個 1-to-2 map。


後來,鄭教授的高足們更用了紙牌一個小特點,令他們有很大機會一次就能命中。這個小特點就是,52隻牌當中有不少牌打直擺和倒轉擺的花款是不同的。舉個例子吧(磚7):








利用這個小特點,就可以將原本的二選一變成「一一對應」了。

2007年9月7日 星期五

A Wonderful Card Trick

科大的理學院院長鄭紹遠教授不時教授學生玩一些紙牌遊戲,英文名就叫Card Trick。自己未能親身學習,不過倒認識了不少科大的同學,都有玩這些Card Trick。這些同學曾經將鄭教授教的一個Card Trick改良,變成了一個在科大傳頌一時的「魔術」。

「魔術師」有兩個人,我們叫他們做「使者」和「神秘通天眼」好了。一開始「神秘通天眼」會走到老遠去,而「觀眾」在Poker Cards的五十二隻牌中隨機抽五隻出來。然後觀眾可以從這五隻中任意抽取一隻藏起。「使者」把餘下四隻牌放在桌子上,然後便走掉。「神秘通天眼」這時回來,望一望那四隻牌,便跟「觀眾」說:「我猜兩次就可以知道你的牌了。」

期間「使者」和「神秘通天眼」是不可以有任何接觸的(不能對話,也不能夠望到對方)究竟兩個「魔術師」是怎樣做到的呢?

2007年9月3日 星期一

Pythagoras' Theorem---Logic in F2 Math

在初中階段,要證明邊長分別是3、4和5 的三角形是一個直角三角形,我們可以這樣說:「由於32 +42 = 52,所以根據畢氏定理的逆定理,它一個直角三角形。」

那麼,怎樣證明邊長分別是2、3和4 的三角形 XYZ 不是一個直角三角形呢?以下是一般教科書的說法:「由於22 +32 不等於 42,所以XYZ不是一個直角三角形。」
大家留意,當中省略了根據什麼。是否也是根據畢氏定理的逆定理


非也!是根據畢氏定理


我們可用反證法作出證明:「假設XYZ一個直角三角形,則22 +32 = 42 (畢氏定理)。矛盾。」

一般來說,根據一個常用的邏輯論證方法:contrapositivity, 「若ABC一個直角三角形,則a2 +b2 =c2 」與「若a2 +b2 不等於c2 ,則ABC不是一個直角三角形」這兩句statement是等價的。
(contrapositivity是指「若p則q 」與 「若~q則~p」 是等價的,例如「若下雨我便帶傘,但我沒帶傘,所以沒有下雨。)。