2011年9月14日 星期三
2010年4月23日 星期五
[轉貼]由三分之二變成0.66
幸好香港立法會人數不多，不然的話政改方案通過與否，可能需要人大釋法，解釋三分之二的值是多少。
At Issue In a Massachusetts Town, the Value of Two-Thirds
BTW，這件事會教一些人想起那道培正數學邀請賽第一屆的經典題目吧。
At Issue In a Massachusetts Town, the Value of Two-Thirds
BTW，這件事會教一些人想起那道培正數學邀請賽第一屆的經典題目吧。
2009年11月4日 星期三
Daily Life Application of Number Theory
A message from UC Berkeley (exact situation unknown):
Warning: Due to a known bug, the default Linux document viewer evince prints N*N copies of a PDF file when N copies requested. As a workaround, use Adobe Reader acroread for printing multiple copies of PDF documents, or use the fact that every natural number is a sum of at most four squares.
Warning: Due to a known bug, the default Linux document viewer evince prints N*N copies of a PDF file when N copies requested. As a workaround, use Adobe Reader acroread for printing multiple copies of PDF documents, or use the fact that every natural number is a sum of at most four squares.
2009年2月16日 星期一
數學笑話三則
以下並非原創作品，但在網上廣泛流傳，所以也無法確定原來的出處了。
老師：你知道 6x7 是多少嗎？
小明：知道啊，是 42。
老師：很好，那麼 7x6 是多少？
小明：那很簡單，當然是 24 吧。
某大學醫學院的神經學系發表報告，指數學家可以分成 10 類，分別是「可以用二進制思考的數學家」和「無法以二進制思考的數學家」。
某國家的統計處招聘一名統計分析員，三人獲邀出席面試，分別被問同一道題：「三分之一加三分之二是多少？」
應徵者 A（數學系畢業生）不加思索便回答：「是 1。」
應徵者 B（工程系畢業生）拿出手提電話計算後回答：「是 0.9999999。」
應徵者 C（統計系畢業生）皺了眉，想了一會後回答：「不如你先告訴我你希望結果是多少，我再給你解釋原因。」
老師：你知道 6x7 是多少嗎？
小明：知道啊，是 42。
老師：很好，那麼 7x6 是多少？
小明：那很簡單，當然是 24 吧。
某大學醫學院的神經學系發表報告，指數學家可以分成 10 類，分別是「可以用二進制思考的數學家」和「無法以二進制思考的數學家」。
某國家的統計處招聘一名統計分析員，三人獲邀出席面試，分別被問同一道題：「三分之一加三分之二是多少？」
應徵者 A（數學系畢業生）不加思索便回答：「是 1。」
應徵者 B（工程系畢業生）拿出手提電話計算後回答：「是 0.9999999。」
應徵者 C（統計系畢業生）皺了眉，想了一會後回答：「不如你先告訴我你希望結果是多少，我再給你解釋原因。」
2008年6月17日 星期二
"Generalize"的雜談（一）
唸了數學多年，其實數學上很多問題都是源自數學家對問題或解法的generalizaion。
舉一個大部分中學生都明白的例子。在我還是讀小學的時候，我聽過了Gauss怎樣用巧妙的方法計算 1+2+3+...+100的值。還記得嗎？他的做法就是把數式倒轉寫一次：
1 + 2 + 3 + ... + 100
100+ 99 + 98 + ... + 1
然後發現一上一下的兩個數和都是101。而這裏有100對，所以總和是101 * 100 = 10100。因為算式總共加了兩次，所以答案是5050。這種配對（pairing）的方法，在現時的奧數訓練可謂必修，但並不一定用在計數列之上。在組合數學中，配對也是一種常用的方法；組合數學裏的這個方法被給了一個名稱：一一對應。這樣可以說是一種解法的generalization。
第一段說了有問題和解法的generalization。解法的generalization上一段已經給了一個例子。而問題的generalization呢？例子多的是。有讀附加數的學生在讀數學歸納法（Mathematical Induction）時，一定對
的公式不陌生。但你們有沒有想過，那個已經給了你的
別人是怎樣求出來的？進一步可以問：當
時，
有沒有"closed form"呢？這就是最簡單對問題的generalization：當解決了一個「細數字」的問題時，考慮一下「大數字」的問題。
有些時候，我們可以從「細數字問題」的解題中看到解決「大數字問題」的竅門。但上面這個問題，配對這個方法並行不通；這個時候就是數學家研究出其他方法的show time。好像上一段的問題，原來可以輕易地用binomial theorem解決；而且，對於任何 k 的方法都是類似的。
不過並不是所有「大數字問題」都可從「細數字問題」的題解中偷師。數學歷史上甚至出現過一個問題，它的二維、四維、五維、六維等打後的情況在很早就被解決，唯獨是三維的情況卻非常困難，甚至考起了數學家足足200年之久。這就是著名的龐卡萊猜想（Poincare conjecture）了。
說起維數的generalization，得說說一個數學笑話。有說一個數學家叫A. Coble，做代數幾何的，據稱他有無窮個博士論文的題目。當一個博士生解決了問題的二維情況時，他就叫下一個博士生做三維情況，再叫下下一個博士生做四維情況。後來有一個叫Gerald Huff的人，不但解決了五維情況，而其他更大維數的情況也解決了。這讓A. Coble未來的博士學生無所事事。這令A. Coble很怒……
舉一個大部分中學生都明白的例子。在我還是讀小學的時候，我聽過了Gauss怎樣用巧妙的方法計算 1+2+3+...+100的值。還記得嗎？他的做法就是把數式倒轉寫一次：
1 + 2 + 3 + ... + 100
100+ 99 + 98 + ... + 1
然後發現一上一下的兩個數和都是101。而這裏有100對，所以總和是101 * 100 = 10100。因為算式總共加了兩次，所以答案是5050。這種配對（pairing）的方法，在現時的奧數訓練可謂必修，但並不一定用在計數列之上。在組合數學中，配對也是一種常用的方法；組合數學裏的這個方法被給了一個名稱：一一對應。這樣可以說是一種解法的generalization。
第一段說了有問題和解法的generalization。解法的generalization上一段已經給了一個例子。而問題的generalization呢？例子多的是。有讀附加數的學生在讀數學歸納法（Mathematical Induction）時，一定對
的公式不陌生。但你們有沒有想過，那個已經給了你的別人是怎樣求出來的？進一步可以問：當時，有沒有"closed form"呢？這就是最簡單對問題的generalization：當解決了一個「細數字」的問題時，考慮一下「大數字」的問題。有些時候，我們可以從「細數字問題」的解題中看到解決「大數字問題」的竅門。但上面這個問題，配對這個方法並行不通；這個時候就是數學家研究出其他方法的show time。好像上一段的問題，原來可以輕易地用binomial theorem解決；而且，對於任何 k 的方法都是類似的。
不過並不是所有「大數字問題」都可從「細數字問題」的題解中偷師。數學歷史上甚至出現過一個問題，它的二維、四維、五維、六維等打後的情況在很早就被解決，唯獨是三維的情況卻非常困難，甚至考起了數學家足足200年之久。這就是著名的龐卡萊猜想（Poincare conjecture）了。
說起維數的generalization，得說說一個數學笑話。有說一個數學家叫A. Coble，做代數幾何的，據稱他有無窮個博士論文的題目。當一個博士生解決了問題的二維情況時，他就叫下一個博士生做三維情況，再叫下下一個博士生做四維情況。後來有一個叫Gerald Huff的人，不但解決了五維情況，而其他更大維數的情況也解決了。這讓A. Coble未來的博士學生無所事事。這令A. Coble很怒……
2008年5月17日 星期六
An interesting exact sequence
Today in the common room I saw the following exact sequence:
1 -> boring stuff -> life -> math -> 1
So life modulo boring stuff is math!
1 -> boring stuff -> life -> math -> 1
So life modulo boring stuff is math!
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