一道概率問題（下）

上回提到，在計算概率並數算「可能結果的總數」時，必須確保每個可能結果的出現機會均等。這裡我們以一道培正數學邀請賽的試題來加以說明。

今年培正數學邀請賽決賽的中四組第 9 題和高中組第 10 題是相同的，都是計算題中遊戲的勝出概率。由於每個球可射進其中一條坑道，因此可能的結果共有 5⁵ = 3125 個。以「成一鉛垂線」勝出的可能結果有 5 個，而以「成一水平線」勝出的可能結果則有 5! = 120 個（因為該 5 個球有 120 種不同方式被「分配」進 5 條坑道）。因此答案是 (5+120)/3125 = 1/25。

本題有 45.4% 的參賽者答對，以「5 分題」來說屬正常水平。值得留意的反而是三個最常見的錯誤答案，它們分別是 6/3125（12.8%）、1/21（8.2%）和 2/3125（2.0%）。參賽者是如何得出這些答案的呢？

6/3125 顯然是因為把以上的「120」當成了「1」，而這顯然是不正確的，因為在數算出 3125 個可能結果的過程中，那「1」個可能結果（即 5 個球成一水平線）是被數算了 120 次的。而 2/3125 則顯然是把「5」和「120」都當成了「1」，也自然是不正確的。

1/21 呢？相信這是從 6/126 化簡而來的。「6」個勝出的結果自然是「5 直 1 橫」。如果「成一水平線」的結果只算一次的話，那麼可能結果的總數是多少？（也就是說我們只關心每條坑道中球的數目，例如 (1,1,1,1,1) 只算一次，這個在之前的解法中是算了 120 次的；而 (5,0,0,0,0) 和 (0,5,0,0,0) 則算作兩個不同的結果。這裡 (0,5,0,0,0) 表示 5 個球都被射進第二條坑道，如此類推。）這個總數就是方程 a+b+c+d+e=5 的非負整數解的數目，即 H(5,5) = C(9,5) = 126。

這個解法有甚麼問題呢？問題正正就出在之前所說的「必須確保每個可能結果的出現機會均等」那兒。出現 (0,5,0,0,0) 顯然比 (1,1,1,1,1) 難：直觀地想，前者必須每個球都射進第二條坑道，至於後者，則開首的幾個球有「較大的自由度」。因此這樣計算出來的概率是不正確的，這跟 5 個球相同與否（identical or distinguishable）也是無關的（直觀地想，5 個球的顏色相同或不同，應該不會影響勝出的機會吧！）。

當然，在高等數學中，概率的定義要嚴格得多。有興趣的讀者可以參看數學資料庫關於概率的教學單元。

一道概率問題（上）

在中學教科書中，概率（probability）的定義一般是這樣寫的：

　　　　　　　　　　　符合Ｅ的結果的數目
　　事件Ｅ的概率　＝　－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　可能結果的總數

在高等數學中，概率的定義要複雜得多，因此在中學教科書中有一個「簡易版」實在可以理解。然而，以上版本卻未免太簡易了，很容易「鬧出笑話」，例如：六合彩頭獎的中獎機會是多少？由於可能結果有兩個（「中」或「不中」），那麼機會應該是 1/2 吧？另一個人說：非也，六合彩有頭獎至七獎，也可能不中獎，所以頭獎的中獎機會應是 1/8 才對。

這當然是不正確的。錯誤在那裡呢？在數算「可能結果的總數」時，我們必須確保每個可能結果都是「出現機會均等」的，而在以上例子中，「中」與「不中」顯然不是機會均等的，因此我們不能說可能結果有兩個。

投擲兩顆骰子，總數是 11 點的概率是多少？這個不難，可能的結果有 6x6 = 36 個，符合條件的結果有 (5,6) 和 (6,5) 兩個，因此答案是 2/36 = 1/18 吧。為甚麼 (5,6) 和 (6,5) 應算作兩個不同的結果？（同樣道理，在數算可能結果的總數時，(1,2) 和 (2,1) 等也是數了兩次，因此才得出 36 這個數的。）那正正就是因為要確保每個可能結果的「出現機會均等」-- 如果 (5,6) 和 (6,5) 只算一次，而 (1,1) 也算一次的話，那麼 {5,6} 出現的機會是比 (1,1) 高的。

值得注意，(5,6) 和 (6,5) 應該算是一個可能結果還是兩個，跟兩顆骰子是否相同（identical or distinguishable）是無關的。而「出現機會均等」這條件的重要性，我們在下回將以一道培正數學邀請賽的題目作說明。

培正數學邀請賽：最新消息

數學資料庫協辦的培正數學邀請賽初賽將於下星期六（1 月 23 日）舉行。有關詳情已上載至比賽網頁。參賽同學及領隊老師請特別注意以下事項：

1. 准考證已寄給各參賽學校及個人報名的參賽者。
2. 參賽者必須帶備准考證及身分證應考。
3. 參賽者應使用大會提供的 HB 鉛筆作答（答題紙樣本），惟需自備橡皮擦及其他文具。
4. 如答案小於 1000，須「補 0」以湊足四位，例如：如答案為 39，應填「0039」。
5. 本年將不會派發答案予領隊老師。試題及答案將於初賽後盡快上載至數學資料庫（屆時會在本網誌公佈），亦會於一星期內上載至比賽網頁。

培正數學邀請賽

數學資料庫協辦的「培正數學邀請賽 2010」將於 1 月 23 日（星期六）和 3 月 20 日（星期六）分別舉行初賽和決賽。學校報名的截止日期為 2009 年 12 月 5 日（星期五）。有興趣參賽的同學，可向就讀學校的數學老師查詢有關事宜。其他有關比賽的詳情，可瀏覽比賽網頁。

又是66.6%

今年拿了第一屆培正數學邀請賽中四組最後一題給labmate玩玩。Recap一次題目：

設n和m為正整數，並符合 n/m = 0.666（取至三位有效數字）。求n的最小值。

Labmates們隨意說了一些方法：

1) Binary Search. 易知 m = 100不可行，而m=500可行。那麼就試m=(100+500)/2=300。m=300不可行的話就試m=(300+500)=400，可行的話就試m=(100+300)=200，如此類推。

2) Continued Fraction.我也不知怎樣簡介。就看wiki好了。

我想這兩個方法均不可行。你們知道為甚麼嗎？

資訊分析

一年多前我寫了一篇叫《帽子問題》的文章，裏面有兩條問題。我們今天再談第一條。

曾經有有問過我有甚麼方法去幫助思考這類問題。其中一種方法是「資訊分析」。所謂資訊分析，就是分析每一個人他在不同時候究竟擁有甚麼資訊。以《帽子問題》一文內的第一條為例，排最尾的那個人他知道的就是在他前面9個人的帽子顏色。明顯地這個資訊不可能幫助他知道他的帽子顏色。而排尾二的人答問題時，他知道的資訊，除了他前面8個人的帽子顏色外，他還知道排最尾的人的答案。排尾三的人知道的則是他前面7個人的帽子顏色和他後面兩個人的答案。

做了這些資訊分析後，應該會較易想到答案。

另一種典型要做資訊分析例子的題目是幾何題。在訓練學生參加奧數時，他們做幾何題想了很久仍無頭緒，有時我的提示就是問他們「還有哪個條件沒用？」。無論在做bookwork或奧數的幾何題，這種分析往往令學生想到重要的線索。

最近培正數學邀請賽初賽，其中一條問題是這樣的：

在一個遊戲中有 100 個盒子，每個盒子內均有一個紅色或藍色的球。在每個回合，參加者可選兩個盒子並把它們同時打開。如果兩個盒子的球的顏色相同，則參加者可獲獎，否則把盒子關上然後進行下一回合。遊戲最少要進行多少個回合參加者才可保證獲獎？

若將「同時」刪掉，答案是會不同的。要做到以上問題或「刪掉『同時』」的問題都不難。但你能看出兩條問題遊戲者掌握資訊的不同嗎？

培正數學邀請賽：最新消息

數學資料庫協辦的第八屆培正數學邀請賽將於 2009 年 1 月 24 日（星期六）及 2009 年 3 月 14 日（星期六）舉行，詳情請瀏覽比賽網頁 http://www.puichingcentre.edu.hk/pcimc/。

有意參賽的同學請留意，學校報名（包括輸入參賽學生資料）的截止日期為 2008 年 12 月 12 日（星期五）。如果就讀學校沒有報名參賽，則該校的同學可於 2008 年 12 月 15 日（星期一）至 2008 年 12 月 22 日（星期一）期間以個人名義報名參賽。

培正數學邀請賽：最新消息

培正數學邀請賽的學校報名期將於 12 月 8 日（星期六）下午 5 時截止，有意參賽的同學請向就讀學校的數學老師查詢。

獲學校提名參賽的同學應提供正確的個人資料予老師報名，否則可能不獲參賽資格。老師輸入報名學生的資料時請特別注意以下事項：

• 報名參加的組別必須與就讀年級相符。
  
• 必須提供正確的電郵地址。不同的參賽學生必須填寫不同的電郵地址。
• 必須填寫中文姓名，或選擇「沒有中文名」一項。
• 英文的「姓」和「名」不要倒轉，而且必須和身份證上的名字相同。
  
• 大會稍後會透過電郵要求參賽同學核實個人資料，屆時必須小心核對。
  

希望參加比賽而所屬學校沒有報名的同學，應留意大會公佈的個人報名安排。詳情請瀏覽比賽網頁。

培正數學邀請賽：最新消息

第七屆培正數學邀請賽將於 2008 年 1 月 26 日（星期六）及 2008 年 3 月 8 日（星期六）舉行。現已接受學校報名，詳情請瀏覽比賽網頁 http://www.puichingcentre.edu.hk/pcimc/。

培正數學邀請賽：經典重溫（二）

第一屆（個人賽中三組第 19 題、中四組第 20 題）

董先生參加某國家的總統選舉，得票率（準確至小數點後一個位）為 66.6%。問董先生最少得到多少票？

本題是另一道看下去不難，卻很有深度的題目。表面上它只是一道百分率和近似值的問題，而要找到「66.6%」的例子亦很容易：666/1000 和 333/500 就是最簡單的情況。可是如何找出董先生的得票的最小值呢？

如果大家對數字有一定的敏感度的話，應該會發現 66.6% 和三分之二很接近，但 2/3 四捨五入至小數點後一位的話卻是 66.7%，跟題目不符。因此，董先生的得票應該「比三分之二少一點點」。這基本上也是大會題解背後的思路，大家不妨試試。

這道題是罕有沒有參賽者答對的題目之一。當然，從比賽的角度看這並非好事。然而題目事後卻引起了廣泛討論，有數學老師更想出了一些另類的解法，當中甚至跟表面看來毫不相干的 Pick's formula 扯上關係。這實在是數學其中一個最可愛的地方。

培正數學邀請賽：經典重溫（一）

培正數學邀請賽已經舉辦六屆，六年來出現過不少有趣的題目，「培正數學邀請賽：經典重溫」系列會為大家重溫一下這些題目。

第一屆（個人賽中一組第 14 題、中二組第 9 題）

求最小的質數 p，使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。

本題看下去不難，一個很自然的想法是代入 p = 2、3、5、7、……，看看有甚麼發現。可是即使很有耐性地試到 100 以上，似乎怎樣也找不到 p 使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。若再細心觀察一下，不難發現（也不難證明）除 p = 3 外，任何的質數 p 皆會使得 2002 - p 或 2002 + p 的其中一個是 3 的倍數。當年的一名中一組參賽者，就以此在答題紙上長篇大論，指出題目有誤，因為他可以證明這樣的 p 根本不存在。當然，題目其實是沒有錯的（大家是否已經想到答案呢？），但那位中一的參賽者能寫出這樣的「證明」也殊不簡單，而他最後亦成為得獎者之一呢！

第七屆培正數學邀請賽

由香港培正中學主辦，培正教育中心和數學資料庫協辦的第七屆培正數學邀請賽的初賽和決賽已分別訂於 2008 年 1 月 26 日（星期六）下午和 2008 年 3 月 8 日（星期六）上午舉行。有意參賽的同學，請密切留意本網誌及比賽網頁的最新消息。