對數（logarithm）練習題

某位老師在課堂上跟學生討論以下一道關於對數（logarithm）的練習題：

設 log 2 = a、log 3 = b、log 7 = c，把以下各項以 a、b 和 c 表示。

(a) log 8
(b) log √2
(c) log 70
(d) log 105

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老師：先看看 (a)，這個很簡單。因為 8 = 2³，所以 log 8 = log 2³ = 3 log 2 = 3a。
小明：不是要以「a、b 和 c」表示嗎？只用了 a，沒有用 b 和 c 也可以嗎？
老師：可以的，不必 a、b、c 全部使用啊。
小明：但題目要求我們用 a、b 和 c 表示，多了個「3」也可以嗎？
老師：可以，因為 3a 可以看成 a + a + a 嘛。

老師：好，再看看 (b) 和 (c)。這兩題都不難，小芬，你出來做給大家看看吧。
小芬：（在白板上寫道……）
　　　log √2 = log 2^1/2 = 1/2 log 2 = a/2
　　　log 70 = log (7x10) = log 7 + log 10 = c+1
老師：對了，做得很好……
小明：不是只能以 a、b 和 c 表示嗎？答案中多了些「/2」和「+1」啊！
老師：可以，正如之前 3a 可以看成 a + a + a，這裡 a/2 和 c+1 可以看成……
小明：可以看成甚麼？
老師：……嗯……對 a、b 和 c 乘上或加上一些常數是可以的。
小明：甚麼是常數？
老師：常數英文叫 constant，就是沒 a、b 和 c 的實數吧……
小明：但為甚麼可以乘上或加上常數？
老師：凡是題目說「以 a、b 和 c 表示」都是可以的……

老師：好，小明，不如你出來試試 (d) 吧。
小明：（在白板上寫道……）
　　　log 105 = log (3x5x7) = log 3 + log 5 + log 7 = b + log 5 + c
老師：不對呢，這個 log 5 應該變成 log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - a 才對。
小明：為甚麼不對？你剛才不是說可以不必 a、b、c 全部使用，也可以加上常數嗎？
老師：是啊……
小明：這裡 log 5 不就是個常數嗎？
老師：不可以這樣寫的，log 5 必須變成 1 - a 才成。
小明：+log 5 和 +1 都是常數，為何後者可以用前者卻不能？
老師：嗯……這個……你考試時答 log 5 是不會給分的。
小明：那到底錯了些甚麼？
老師：總之就不可以這樣答……這樣答沒分的……

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其實「以 a、b 和 c 表示」在本題中隱含了「寫成 a、b、c 的 rational function」的意思，不然的話學生大可以答 log 8 = log 8，不喜歡的可答 log 8 = a - a + log 8。由於 log 2、log 3 和 log 7 是 「linearly independent over Q」的，因此答案具唯一性。當然，這不容易給學生解釋呢！

當然，「以 a、b 和 c 表示」這一類的題目的意義一般都不太清晰，我們只能靠「common sense」來推斷「立法原意」。事實上，並不是所有這類題目的答案都是 a、b、c 的 rational function 的，例如：如果題目是「以 a 表示兩條直角邊均為 a 的等腰直角三角形的周界」的話，答案便是 (2 + √2) a 了。說到底，如果在考試中出現這樣題目的話，考生最終也得「推敲 marking scheme」呢。

「自然對數」的符號

　　昨天在辦公室工作時，一位同學問我怎樣展開「IN (1 + x)」。我不加思索便告訴他「x + x²/2 + C」。怎料他說這不可能，我百思不得其解。後來他再說清楚後，我才發現他要的是「ln (1 + x)」（(1 + x) 的自然對數）的泰勒級數 (Taylor series)。可是他把自然對數的符號「ln」讀成「in」（音標為 /'in/），使我以為他想求 (1 + x) 的不定積分 (indefinite integral)。原來他一直以來都誤會了自然對數的符號的第一個字母是「i」。

　　這不是我第一次遇到的事。還記得唸中六時很多同學也這樣出錯，我只好不斷糾正他們，說這符號應讀成「natural log」（英文）。怎料在大學時這樣的錯誤仍在身邊偶然出現。假如我沒有推測錯誤，這個錯處是由平日的書本或計算機而來的。在數學書上，通常變數都會以斜體字母表示，而大部分常用的函數的符號都以正楷表示，如「sin x」、「cos x」、「exp x」等。這樣的慣例在香港學生慣用的科學計算機上（如 Casio fx-3600、fx-3650、fx-3900、fx-3950、Sharp EL5020 等）亦通用。可是自然對數的符號「ln」裏的「l」與大寫「I」太相似，甚至在部分字型裏更無法分辨。更壞的是「ln」的字母順序與「natural logarithm」的字首順序「nl」不同，才導致這樣的笑話。

　　其實我也不太明白為甚麼自然對數要寫成「ln」。根據史料記載，這個符號是一位 University of Berkeley 的美國教授 Irving Stringham (1847 - 1909) 在 1893 年出版的著作Uniplanar Algebra 首次使用（詳見這裏）。這本著作是用英語寫成的，為何他不把這符號按英語全寫的字首順序寫成呢？也許，當時德語才是數學界的共同語言，於是他便按德語的「logarithmus naturalis」作縮寫了。可惜網上有關 Stringham 的介紹太少，很難從他的寫作習慣推敲其原因。有人知道嗎？