直角三角形的中線（四）

之前已經看過這個幾何問題的七個解。這裡我們再多看三個。如果大家有其他解法的話，歡迎隨時提供。

解法八

設 AD = DC = x，∠BAC = y，則 AB = 2x cos y。在 △ABD 中運用餘弦定律（cosine law），我們有

BD² = (2x cos y)² + x² - 2 (2x cos y) (x) cos y = x²

從而 DA = DB = DC = x。

解法九

設 ∠ADB = y，則 ∠CDB = 180^o - y。分別對 △ABD 和 △CBD 運用餘弦定律，我們有

　　　AB² = DA² + DB² - 2 (DA) (DB) cos y
　　　BC² = DC² + DB² - 2 (DC) (DB) cos (180^o - y)

由於 DA = DC，AB² + BC² = AC² = 4 DA²，且 cos y = -cos (180^o - y)，故加起以上兩式可得

　　　4 DA² = 2 DA² + 2 DB²

從而 DB = DA (= DC)。

解法十

由於 BA 與 BC 垂直，且 D 是 AC 的中點，故此

即 DB = DA (= DC)。

直角三角形的中線（三）

繼續這個幾何問題的其他解法。

解法五

考慮 △ABC 的外接圓：

由於 ∠ABC = 90^o，所以 AC 是圓的直徑，D 是圓的圓心。由於 DA、DB、DC 都是圓的半徑，故此它們的長度相等。

解法六

沿 AB 反射 C 到 C'，我們有 BC = BC'。由中點定理可知 AC' // DB。設 E 為 C 到 AC’ 的垂足，則 A、E、B、C 四點共圓，故 ∠BEC = ∠BAC。


設 CE 與 BD 的交點為 F，則 ∠DFC = 90^o，故由截線定理可知 EF = FC。因此 △BEF 和 △BCF 全等 (SAS)，從而 ∠BCE = ∠BEC = ∠BAC。

由此可知 ∠ABD = 90^o - ∠FBC = ∠BCE = ∠BAC，故 DB = DA (= DC)。

解法七

設 B 為原點，A = (0, 2a)，C = (2c,0)。由於 D 是 AC 的中點，故此 D = (c, a)。經直接計算可知

直角三角形的中線（二）

上回提到一個幾何問題和它的一個解。你想到多少個其他解法呢？這裡我們先看看其中三個：

解法二

設 E 為 AB 的中點。由中點定理可知 ED 與 BC 平行，故 ∠AED = 90^o，從而 △ADE 和 △BDE 全等 (SAS)，因此 DB = DA (= DC)。

解法三

我們知道，三角形中「大角對長邊、小角對短邊」。若 DC = DA > DB，則有 ∠ABD > ∠BAD 和 ∠DBC > ∠DCB，從而 90^o = ∠ABD + ∠DBC > ∠BAD + ∠DCB = 90^o，矛盾。同理，若 DB > DC = DA，則有 ∠ABD < ∠BAD 和 ∠DBC < ∠DCB，從而 90^o = ∠ABD + ∠DBC < ∠BAD + ∠DCB = 90^o，矛盾。

故此 DC = DA = DB 必定成立。

解法四

沿 AB 反射 C 到 C'，我們有 AC = AC' 和 BC = BC'。由中點定理可知 2DB = AC' = AC。由於 D 是 AC 的中點，故此 DB = DA = DC。

直角三角形的中線（一）

設 ABC 為直角三角形，B 為直角。從 B 作中線到 AC 的中點 D，試證明 DA = DB = DC。



這題有很多不同的解法，以下先列出一個。你能想出其他解法嗎？

解法一

作點 E 使得 ABCE 為長方形。


由於長方形的對角線互相平分，而 D 是 AC 的中點，故可知 B、D、E 成一直線。再由長方形兩條對角線相等的性質可知 DA = DB = DC (= DE)。

化長方為方、化三角為方

GRE前夕，不寫太詳細的Blog文。今天從鄭院長的網站見到兩條關於圓規直尺作圖的問題，在這裏以「高考純數卷」形式講講吧。中四或以上的學生已經有足夠的幾何常識，可嘗試逐part完成。

a) You are given a unit length (a line segment of length 1) and two segments with lengths x and y respectively. By considering two similar triangles, show that one can construct a segment with length xy.

b) You are given a unit length and a segment with length x. By considering a circle with diameter x+1, show that one can construct a segment with length .

c) "Quadrature" a plane figure means to construct a square where its area is equal to that of the plane figure, with use of straight edge and compasses only.

i) You are given a rectangle with sides x and y respectively. Show that you can quadrature the rectangle.

ii) You are given an arbitrary triangle. Show that you can quadrature the triangle. (Hint: by i), you should already know how to quadrature any given parallelogram.)

順帶一提，quadrature a given circle（即中文的「化圓為方」）是不可能做到的。