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2010年1月13日 星期三

培正數學邀請賽：最新消息

數學資料庫協辦的培正數學邀請賽初賽將於下星期六（1 月 23 日）舉行。有關詳情已上載至比賽網頁。參賽同學及領隊老師請特別注意以下事項：
  1. 准考證已寄給各參賽學校及個人報名的參賽者。
  2. 參賽者必須帶備准考證及身分證應考。
  3. 參賽者應使用大會提供的 HB 鉛筆作答（答題紙樣本），惟需自備橡皮擦及其他文具。
  4. 如答案小於 1000，須「補 0」以湊足四位，例如：如答案為 39，應填「0039」。
  5. 本年將不會派發答案予領隊老師。試題及答案將於初賽後盡快上載至數學資料庫（屆時會在本網誌公佈），亦會於一星期內上載至比賽網頁。
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2009年12月1日 星期二

培正數學邀請賽

數學資料庫協辦的「培正數學邀請賽 2010」將於 1 月 23 日（星期六）和 3 月 20 日（星期六）分別舉行初賽和決賽。學校報名的截止日期為 2009 年 12 月 5 日（星期五）。有興趣參賽的同學，可向就讀學校的數學老師查詢有關事宜。其他有關比賽的詳情，可瀏覽比賽網頁。
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2009年7月21日 星期二

IMO Q6 2009

There is this collaborative project of solving IMO Q6 2009: http://terrytao.wordpress.com/2009/07/20/imo-2009-q6-as-a-mini-polymath-project/. Perhaps some of you will be interested in thinking about the problem together (with all the other math people around the world)? I saw Tim Gowers (a Field's medalist) constantly making comments on the various approaches that people suggest, so it might be interesting to read the comments as people make progress even if you are not actively thinking about it.
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2008年12月1日 星期一

培正數學邀請賽：最新消息

數學資料庫協辦的第八屆培正數學邀請賽將於 2009 年 1 月 24 日（星期六）及 2009 年 3 月 14 日（星期六）舉行，詳情請瀏覽比賽網頁 http://www.puichingcentre.edu.hk/pcimc/。

有意參賽的同學請留意，學校報名（包括輸入參賽學生資料）的截止日期為 2008 年 12 月 12 日（星期五）。如果就讀學校沒有報名參賽，則該校的同學可於 2008 年 12 月 15 日（星期一）至 2008 年 12 月 22 日（星期一）期間以個人名義報名參賽。
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2008年9月23日 星期二

奇怪的經典數學比賽題目－－無窮項的處理

　　經常參加數學比賽的學生應該遇過以下的兩道題目：

1. 若 x=1+0.1+0.01+0.001+\cdots=\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty10^{-k}}，求 x 的值。

2. 若 y=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}，求 y 的值。

　　這兩題皆牽涉無窮項的處理。在大學的分析課裏，我們知道處理運算符 (operator) 必須逐一按優先次序處理。例如當我們算 2 + 3 + 4 時，我們應由左至右算出答案 2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9。因為我們的算式只應涉及有限次運算，因此我們不能求無窮項的和。那麼第一題的寫法成立嗎？

　　其實我們可把所謂「無窮項的和」只是有限項的和的極限 (limit)。由此可知，第一題可嚴謹地寫成

「設 \color{blue}a_n = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}10^{-k}}（即首 n 項的和），求 \color{blue}\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n} 的值。」

　　我們不難證明上述的極限（即「無窮項的和」）是 \dfrac{10}{9}。

　　解決了第一題，到第二題。我們能否嚴謹地將題目裏的表達式寫出來呢？在此之前，先看看求 y 的運算過程。它的最後一步是取（非負）平方根，前一步是加 6，再前一步是取（非負）平方根，再之前的是加 6，並以此規律不斷往前推，推至「無窮項」。根據這種寫法，很多數學書都提供以下的解法：

　　「因為這裏應用了無窮個「加 6 後取平方根」的步驟，所以將 y 加 6 後取平方根仍是 y。即 \color{blue}%5Csqrt%7B6+y%7D=%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Ccdots%7D%7D%7D%7D=y。從第一項和第三項的等式可知 \color{blue}6+y=y^2。因平方根號指非負的平方根，故解二次方程後只取正根，可得 y = 3。」

　　這種解法有意思嗎？不。從前文的推論，我們可知求 y 的「運算過程」根本不完整。我們只知它不斷運算「加 6 後取平方根」，但卻不知道它的第一步是由甚麼「加 6 後取平方根」。這和第一題的無窮項之和不同。第一題的和有第一項 1，接著是加上第二項 0.1，然後是第三項 0.01，如此類推。因此，我們才可以將它理解為有限項之和的極限。可是第二題裏的怪物卻無從由第一步算起。換言之，這個表達式根本不成立，又怎會有數值？
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2008年9月7日 星期日

順流、逆流

這裏不是說小鳳姐的經典名曲，而是講一個在奧數中不時遇到的概念。

事緣今天寫奧數筆記，其中一個例子是這樣的：

小船在沒有水流時航行的速度是24 km/h。水流由A城流往B城，而兩城相距70 km。現小船由A城航行到B城，然後駛回A城，共需6小時。問水流的速度是多少？


而原本寫的解答的其中幾句是：

設由A城流往B城的水流速度為x km/h。這樣的話，由A城駛往B城時，順流時小船的速度為 (24+x) km/h。而逆流時小船的速度為 (24-x) km/h。

但，腦筋急轉彎：順流時小船的速度真的是 (24+x) km/h嗎？

因為最近比較忙，所以不打算作出一些詳細物理的arguments。但可以舉一個例子。若在水流為 x km/h 的河裏放一隻小紙船，小紙船的速度應該大約是 x km/h。若在同一條河放一隻大漁船，水流的影響就不會很大，所以大漁船在不開摩打的情況下速度應該比 x km/h 為低。

為了補救，我作出了以下修改：

設由A城流往B城的水流速度為x km/h。這樣的話，由A城駛往B城時，因為順流，小船的速度會比在沒有水流時航行時為高。一般來說，我們會取順流時小船的速度為 (24+x) km/h。而逆流時小船的速度會減慢，而我們會取逆流時小船的速度為 (24-x) km/h。
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2007年12月1日 星期六

培正數學邀請賽：最新消息

培正數學邀請賽的學校報名期將於 12 月 8 日（星期六）下午 5 時截止，有意參賽的同學請向就讀學校的數學老師查詢。

獲學校提名參賽的同學應提供正確的個人資料予老師報名，否則可能不獲參賽資格。老師輸入報名學生的資料時請特別注意以下事項：
  • 報名參加的組別必須與就讀年級相符。
  • 必須提供正確的電郵地址。不同的參賽學生必須填寫不同的電郵地址。
  • 必須填寫中文姓名，或選擇「沒有中文名」一項。
  • 英文的「姓」和「名」不要倒轉，而且必須和身份證上的名字相同。
  • 大會稍後會透過電郵要求參賽同學核實個人資料，屆時必須小心核對。
希望參加比賽而所屬學校沒有報名的同學，應留意大會公佈的個人報名安排。詳情請瀏覽比賽網頁。
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2007年11月2日 星期五

培正數學邀請賽：最新消息

第七屆培正數學邀請賽將於 2008 年 1 月 26 日（星期六）及 2008 年 3 月 8 日（星期六）舉行。現已接受學校報名，詳情請瀏覽比賽網頁 http://www.puichingcentre.edu.hk/pcimc/。
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