最近看到一篇文章，關於「全球最難的數獨」。該數獨遊戲其中 23 格是給定的，而且只有唯一答案。
不過我卻不太明白，憑甚麼認為這是「全球最難」呢？第一，就我所知，存在一個只給定 17 格且有唯一解的數獨。第二，除了一些極端例子外，一個數獨問題的難度跟它給定的格數和解的數目其實沒有明顯關係。
要量化一個數獨問題的難度我想是可以的，這裡談談我一個粗略的想法：先數數有多少格是可以經過「一層推理」得出答案（例如：由於同一橫行已有 1、2、3，同一直行已有 4、5、6，同一 3x3 大方格已有 7、8，所以這格必定是 9），再數數有多少格可以經過「兩層推理」得出答案（例如：經過第一層推理得知這格只能是 8 或 9，如果是 8 的話，那麼 xxxxxxx，所以出現矛盾，因此這格必定是 9），如此類推。
至於上文的那個數獨問題，我沒有試做過（由於推理方式變化不多，個人並不特別喜歡解這類問題），但驟眼看下去似乎也看不出為甚麼它是「全球最難」的。大家有興趣挑戰一下嗎？
2011年9月14日 星期三
2011年7月3日 星期日
MD Academic Seminar
數學資料庫於七月舉行的 academic seminar 的詳情如下：
日期：2011 年 7 月 10 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港中文大學 邵逸夫夫人樓 222 室 （ CUHK LSB 222 )
講者：梁嘉珮小姐（2010 年女子數學奧林匹克香港代表隊成員）
講題：補選？不補選？
=========================================
最近，社會就政府提出修改香港立法會的補選方法展開激辯。在講座中，我們會從數學和非數學角度分析不同的選舉制度，並嘗試找出各種選舉制度（尤其是本港立法會地區直選現行的比例代表制）下最理想的補選方法。
Recently, there has been much controversy over a proposed change to the by-election system of the Legislative Council of Hong Kong. In this seminar, we shall take a look at some mathematical and non-mathematical issues of electoral systems, and try to explore the best by-election system under different electoral systems, especially for proportional representation, the system currently used in the geographical constituencies in the Legislative Council of Hong Kong.
日期：2011 年 7 月 10 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港中文大學 邵逸夫夫人樓 222 室 （ CUHK LSB 222 )
講者：梁嘉珮小姐（2010 年女子數學奧林匹克香港代表隊成員）
講題：補選？不補選？
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最近，社會就政府提出修改香港立法會的補選方法展開激辯。在講座中，我們會從數學和非數學角度分析不同的選舉制度，並嘗試找出各種選舉制度（尤其是本港立法會地區直選現行的比例代表制）下最理想的補選方法。
Recently, there has been much controversy over a proposed change to the by-election system of the Legislative Council of Hong Kong. In this seminar, we shall take a look at some mathematical and non-mathematical issues of electoral systems, and try to explore the best by-election system under different electoral systems, especially for proportional representation, the system currently used in the geographical constituencies in the Legislative Council of Hong Kong.
2011年6月9日 星期四
指數問題一則
在香港高級程度會考的純粹數學科中，卷二的乙部第一題一般是曲線描繪（curve sketching）。要描繪其圖像的函數間中會牽涉「非整數次方」，例如 x3/4。當 x 是負數時，這會引起很多問題（但描繪曲線時我們確實需要考慮 x 是負數時的情況）。舉例說，(-8)2/6 等於多少？
甲同學：怎麼考評局這麼不小心啦，
乙同學：(-8)2/6 即 (-8)1/6 的 2 次方，可是 (-8)1/6 即 -8 開 6 次方，這是不可能的，因為任何實數的偶數次方都不可能是負數啊，所以它不是實數。
丙同學：我不同意乙同學的看法。我看過數學資料庫手記的一篇文章，裡面提到處理實數的過程中是有可能離開實數世界的，所以沒有問題啦，(-8)1/6 應該等於 
丁同學：我們不是學過 
到底誰的演繹才正確？
首先，你可以說丁同學的說法是不穩妥的，因為他用到的那一條指數定律在 a>0 時才成立（數學書是這樣寫的）。
那麼乙同學的說法也同樣有問題了，他不是用到 amn = (am)n 這條指數定律嗎？這也需要 a>0 的啊（數學書也是這樣寫的）！
甲同學呢？他說 (-8)1/3 即 -8 的立方根，「a1/n 即 a 的 n 次方根」這句說話究竟對 a<0 是否成立？這個有點複雜，因為這牽涉兩個定義，就是「a1/n」和「a 的 n 次方根」。這個姑且不談，(-8)2/6 一定要等於 (-8)1/3 的嗎？（如果 x=y，那麼 ax 一定要等於 ay 的嗎？我們知道，如果 f 是函數，那麼當 x=y 時，必定有 f(x)=f(y)，可是 f(x) = ax 是函數嗎？對 a 的值有任何要求嗎？）
看到這裡，大家也許都感到天旋地轉了。我說了這麼多，究竟哪一個才是正確的答案？
我的結論很簡單：哪個是正確答案視乎你如何定義。而就我所知，最常見的定義方法是不對負數的非整數次方下定義，即 (-8)1/3 等都是「未下定義」（undefined）的（但這顯然跟公開試所採納的不同）。
如果你懂得複對數（complex logarithm）或類似課題的話，會較容易明白不同定義各自的「好與壞」，但對中學生來說，不對負數的非整數次方下定義，不是最自然和合理的選擇嗎？
2011年5月25日 星期三
捨去（rejected）
相信大家在中學課本中都會見過類似的題目：求方程 
的所有實數解。
不難吧？兩邊取平方得 x2 - 1 = 2x - 1，化簡可得 x(x-2) = 0，因此 x = 0 或 2。然而，由於解題過程中曾經兩邊取平方（註 1），因此我們應該把答案代入原方程驗算。
把 x=2 代入原方程，左右兩邊皆等於
，因此 x=2 是原方程的一個解。
把 x=0 代入原方程，左邊等於
，由於這不是實數，故捨去 x=0 這個解。
且慢！當 x=0 時，右邊也等於，即左右兩邊相等（註 2）。題目所求的是實數解，並沒要求方程的兩邊都要是實數（註 3）。
在以往的香港中學會考數學科中，「複數」並不在課程內，因此對學生來說， 是「不存在」的，故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中，數學科課程包括「複數」的概念，我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎？
註：
(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋，但這不是正確，或至少不是完滿的解釋，至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。
(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」，我們取非負的平方根，例如
是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」，我們也會選一個「主值」（principal value，詳見這裡）。
(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見，例如我們可以利用複分析（complex analysis）的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分：
的所有實數解。不難吧？兩邊取平方得 x2 - 1 = 2x - 1，化簡可得 x(x-2) = 0，因此 x = 0 或 2。然而，由於解題過程中曾經兩邊取平方（註 1），因此我們應該把答案代入原方程驗算。
把 x=2 代入原方程，左右兩邊皆等於
，因此 x=2 是原方程的一個解。把 x=0 代入原方程，左邊等於
，由於這不是實數，故捨去 x=0 這個解。且慢！當 x=0 時，右邊也等於
，即左右兩邊相等（註 2）。題目所求的是實數解，並沒要求方程的兩邊都要是實數（註 3）。在以往的香港中學會考數學科中，「複數」並不在課程內，因此對學生來說，
是「不存在」的，故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中，數學科課程包括「複數」的概念，我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎？註：
(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋，但這不是正確，或至少不是完滿的解釋，至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。
(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」，我們取非負的平方根，例如
是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」，我們也會選一個「主值」（principal value，詳見這裡）。(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見，例如我們可以利用複分析（complex analysis）的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分：
2011年5月15日 星期日
EPYMT2011
The Department of Mathematics, CUHK is offering 4 courses of a summer outreach programme "Enrichment Programme for Young Mathematics Talents" (EPYMT), for secondary school students. These courses include:
Geometric Perspectives of Complex Numbers (suits F.3-F.4 students) and
Understanding Non-Euclidean Geometry (suits F.6-F.7 students).
Junior form students who perform particularly well in mathematics may also be admitted. The students who join the course(s) of EPYMT can learn advanced mathematics during summer and get well equipped for New Senior Secondary Mathematics Curriculum. Besides, admitted students may also get admission consideration and/or two credits at CUHK.
All of the courses will be held at CUHK campus and be taught by the professors or lecturers of our department.
Online Registration and deadline: Midnight 18 May, 2011
Admission Screening Test: 21 May, 2011
Please kindly visit here for the details of each course.
Geometric Perspectives of Complex Numbers (suits F.3-F.4 students) and
Understanding Non-Euclidean Geometry (suits F.6-F.7 students).
Junior form students who perform particularly well in mathematics may also be admitted. The students who join the course(s) of EPYMT can learn advanced mathematics during summer and get well equipped for New Senior Secondary Mathematics Curriculum. Besides, admitted students may also get admission consideration and/or two credits at CUHK.
All of the courses will be held at CUHK campus and be taught by the professors or lecturers of our department.
Online Registration and deadline: Midnight 18 May, 2011
Admission Screening Test: 21 May, 2011
Please kindly visit here for the details of each course.
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