捨去（rejected）

相信大家在中學課本中都會見過類似的題目：求方程 的所有實數解。

不難吧？兩邊取平方得 x² - 1 = 2x - 1，化簡可得 x(x-2) = 0，因此 x = 0 或 2。然而，由於解題過程中曾經兩邊取平方（註 1），因此我們應該把答案代入原方程驗算。

把 x=2 代入原方程，左右兩邊皆等於 ，因此 x=2 是原方程的一個解。

把 x=0 代入原方程，左邊等於 ，由於這不是實數，故捨去 x=0 這個解。

且慢！當 x=0 時，右邊也等於 ，即左右兩邊相等（註 2）。題目所求的是實數解，並沒要求方程的兩邊都要是實數（註 3）。

在以往的香港中學會考數學科中，「複數」並不在課程內，因此對學生來說， 是「不存在」的，故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中，數學科課程包括「複數」的概念，我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎？

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註：

(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋，但這不是正確，或至少不是完滿的解釋，至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。

(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」，我們取非負的平方根，例如 是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」，我們也會選一個「主值」（principal value，詳見這裡）。

(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見，例如我們可以利用複分析（complex analysis）的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分：