培正數學邀請賽：經典重溫（二）

第一屆（個人賽中三組第 19 題、中四組第 20 題）

董先生參加某國家的總統選舉，得票率（準確至小數點後一個位）為 66.6%。問董先生最少得到多少票？

本題是另一道看下去不難，卻很有深度的題目。表面上它只是一道百分率和近似值的問題，而要找到「66.6%」的例子亦很容易：666/1000 和 333/500 就是最簡單的情況。可是如何找出董先生的得票的最小值呢？

如果大家對數字有一定的敏感度的話，應該會發現 66.6% 和三分之二很接近，但 2/3 四捨五入至小數點後一位的話卻是 66.7%，跟題目不符。因此，董先生的得票應該「比三分之二少一點點」。這基本上也是大會題解背後的思路，大家不妨試試。

這道題是罕有沒有參賽者答對的題目之一。當然，從比賽的角度看這並非好事。然而題目事後卻引起了廣泛討論，有數學老師更想出了一些另類的解法，當中甚至跟表面看來毫不相干的 Pick's formula 扯上關係。這實在是數學其中一個最可愛的地方。

5 Times 14 Equals 25

這是幾個月前看過的一段YouTube短片，當時實在笑到肚痛。

警告：此片具有不良數學知識及證明，數學心智不成熟的朋友們不宜收看！

培正數學邀請賽：經典重溫（一）

培正數學邀請賽已經舉辦六屆，六年來出現過不少有趣的題目，「培正數學邀請賽：經典重溫」系列會為大家重溫一下這些題目。

第一屆（個人賽中一組第 14 題、中二組第 9 題）

求最小的質數 p，使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。

本題看下去不難，一個很自然的想法是代入 p = 2、3、5、7、……，看看有甚麼發現。可是即使很有耐性地試到 100 以上，似乎怎樣也找不到 p 使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。若再細心觀察一下，不難發現（也不難證明）除 p = 3 外，任何的質數 p 皆會使得 2002 - p 或 2002 + p 的其中一個是 3 的倍數。當年的一名中一組參賽者，就以此在答題紙上長篇大論，指出題目有誤，因為他可以證明這樣的 p 根本不存在。當然，題目其實是沒有錯的（大家是否已經想到答案呢？），但那位中一的參賽者能寫出這樣的「證明」也殊不簡單，而他最後亦成為得獎者之一呢！

Card Trick Solution

開課後，很多莫明其妙的事情接腫而來，弄至一星期後才能更新這裏。

說一說上次那個"trick"的解答吧。正所謂「無氈無扇，神仙難變」，「使者」和「神秘通天眼」不會有任何接觸，能夠令「神秘通天眼」猜到底牌的，當然就是「使者」放在桌上的四張牌。

一副紙牌有52隻。有玩過「鋤大D」或「橋牌」都應該知道不難為這52隻牌定一個次序（例如先比較數字，A > K > Q > J > 10 > 9 > ... > 2；同數字的就比較花，桃花 > 紅心 > 葵扇 > 磚）。

撇除在桌上的4隻牌後，餘下48隻。用這4隻牌做一個排列（permutation），可以有24個可能性，然後我們可以根據下表，知道「底牌」只有兩個可能（下圖左列的 4 代表4隻牌當中最大的牌； 1 代表4隻牌當中最小的牌）：

4隻牌的排序	代表「底牌」是餘下48張中的第n張牌。
1234	1,2
1243	3,4
1324	5,6
1342	7,8
1423	9,10
1432	11,12
2134	13,14
2143	15,16
2314	17,18
2341	19,20
2413	21,22
2431	23,24
3124	25,26
3142	27,28
3214	29,30
3241	31,32
3412	33,34
3421	35,36
4123	37,38
4132	39,40
4213	41,42
4231	43,44
4312	45,46
4321	47,48

就是這樣，「神秘通天眼」就可以根據「使者」在桌上的擺陣，在兩次內猜出「底牌」了。

用數學的語言，我們利用了 |P₄| = 24和餘下48隻牌的兩個數字，構成了一個 1-to-2 map。

後來，鄭教授的高足們更用了紙牌一個小特點，令他們有很大機會一次就能命中。這個小特點就是，52隻牌當中有不少牌打直擺和倒轉擺的花款是不同的。舉個例子吧（磚7）：

利用這個小特點，就可以將原本的二選一變成「一一對應」了。

A Wonderful Card Trick

科大的理學院院長鄭紹遠教授不時教授學生玩一些紙牌遊戲，英文名就叫Card Trick。自己未能親身學習，不過倒認識了不少科大的同學，都有玩這些Card Trick。這些同學曾經將鄭教授教的一個Card Trick改良，變成了一個在科大傳頌一時的「魔術」。

「魔術師」有兩個人，我們叫他們做「使者」和「神秘通天眼」好了。一開始「神秘通天眼」會走到老遠去，而「觀眾」在Poker Cards的五十二隻牌中隨機抽五隻出來。然後觀眾可以從這五隻中任意抽取一隻藏起。「使者」把餘下四隻牌放在桌子上，然後便走掉。「神秘通天眼」這時回來，望一望那四隻牌，便跟「觀眾」說：「我猜兩次就可以知道你的牌了。」

期間「使者」和「神秘通天眼」是不可以有任何接觸的（不能對話，也不能夠望到對方）究竟兩個「魔術師」是怎樣做到的呢？

Pythagoras' Theorem---Logic in F2 Math

在初中階段，要證明邊長分別是3、4和5 的三角形是一個直角三角形，我們可以這樣說：「由於3² +4² = 5²，所以根據畢氏定理的逆定理，它一個直角三角形。」

那麼，怎樣證明邊長分別是2、3和4 的三角形 XYZ 不是一個直角三角形呢？以下是一般教科書的說法：「由於2² +3² 不等於 4²，所以XYZ不是一個直角三角形。」
大家留意，當中省略了根據什麼。是否也是根據畢氏定理的逆定理？


非也！是根據畢氏定理 ！


我們可用反證法作出證明：「假設XYZ一個直角三角形，則2² +3² = 4² (畢氏定理)。矛盾。」

一般來說，根據一個常用的邏輯論證方法：contrapositivity, 「若ABC一個直角三角形，則a² +b² =c² 」與「若a² +b² 不等於c² ，則ABC不是一個直角三角形」這兩句statement是等價的。
(contrapositivity是指「若p則q 」與 「若~q則~p」 是等價的，例如「若下雨我便帶傘，但我沒帶傘，所以沒有下雨。)。

可數性（countability）

大家知道，如果一個集的元素可以和正整數集 N 的元素一一對應的話，那麼這個集稱為可數的（countable）。例如：整數集 Z 是可數的，因為它可以和 N 作一一對應：

1←→0、2←→1、3←→ -1、4←→2、5←→ -2、6←→3、7←→ -3、……

換句話說，如果一個集的所有元素可以「順序列出來」，則它是可數的：

0、1、-1、2、-2、3、-3、……

以下是兩個「證明」，大家看看有甚麼問題：

(1) 0 和 1 之間的所有實數（不包括 0 和 1）是可數的

證明：我們只需把 0 和 1 之間的所有實數「順序列出來」即可：

0.1, 0.2, 0.3, ..., 0.9, 0.01, 0.02, ..., 0.99, 0.001, 0.002, ..., 0.999, 0.0001, ...

(2) 所有以整數為系數的多項式是不可數的

證明：假設所有以整數為系數的多項式是可數的，則存在一一對應

1 ←→ a₁₀ + a₁₁x + a₁₂x² + a₁₃x³ + ...
2 ←→ a₂₀ + a₂₁x + a₂₂x² + a₂₃x³ + ...
3 ←→ a₃₀ + a₃₁x + a₃₂x² + a₃₃x³ + ...
4 ←→ a₄₀ + a₄₁x + a₄₂x² + a₄₃x³ + ...
......

考慮 f(x) = (a₁₀+1) + (a₂₁+1)x + (a₃₂+1)x² + (a₄₃+1)x³ + ...，則顯然 f(x) 不等於以上任何一個多項式，這跟一一對應的意義矛盾，因此所有以整數為系數的多項式是不可數的。