AM-GM 不等式的幾個證明（四）

上回看過 AM-GM 不等式的一個「普通數學歸納法」證明。這裡我們再看三個類似的證明。一如之前，設 x_i 為正數，並已知 AM-GM 不等式對 n=1 和 n=2 成立。

假設 n=k 時 AM-GM 不等式成立，並考慮 n=k+1 時的情況。如果 ，則 AM-GM 不等式顯然成立，否則不妨設各數中 x₁ 最小，x_k+1 最大，那麼這 k+1 個數的平均（不論是算術平均或是幾何平均）均大於 x₁ 而小於 x_k+1。以下用三個方法證明 n=k+1 的情況。

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方法一

設 。由歸納假設可知

，

從而 ，其中最後一個不等式成立是因為

。

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方法二

設 ，則 ，故此

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方法三

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除了用數學歸納法外，AM-GM 不等式還可以用其他方法來證明，我們下回再看。