AM-GM 不等式的幾個證明（六）

看見 Kahoo 給了 AM-GM 不等式這麼多個精彩的證明，不禁想再來一個用微分和凸函数 (convex functions) 的。

這裏我們只需留意對任意實數 x 和 a，



這不等式可以用很多不同的方法來證明，其中要想清楚當中的概念的，比較好的方法，是留意 是一凸函數，故其導數是遞增的，用中值定理即可推出上述不等式。（也可以不失一般性假設，從而用一元微積分或 的 Taylor 展開求得此不等式。）

有了這不等式以後，對正數 ，



這裏 a 可以是任何實數。把上列的不等式平均起來，得到

------(1)

取 ，則



從而 AM-GM 不等式得證。事實上不等式 (1) 的右邊是一關於 a 的函數，左邊則跟 a 無關，所以我們會取的 a 使得 (1) 的右邊達至最大值，而這正是我們上面這樣取 a 的原因。

這證明的一個好處，是我們可以用同樣的辦法證明以下這個 AM-GM 不等式的推廣：對任意 ，和任意正數 使得 ，有



從上面的討論可知，其實 AM-GM 不等式是函數 的 convexity 的反映。對任何的凸函數 f，我們都有 Jensen 不等式，詳見 wikipedia。

AM-GM 不等式的幾個證明（五）

作為本系列的完結篇，我們看看 AM-GM 不等式的一個不用數學歸納法的證明。本證明主要用到排序不等式，此不等式指出若 而 ，那麼當我們把這些 a_i 和 b_i「配對相乘再相加」時，有以下不等式：

這裡 f(1)、f(2)、…、f(n) 是 1, 2, ..., n 的一個任意排列，而以上不等式中的三行分別叫「逆序和」、「亂序和」和「順序和」。不等式看起來有點複雜，但其實背後意念很簡單：假設一批學生分 n 組比賽（人數分別是 a₁、a₂、…、a_n），而每組均選擇 n 種隊服中的一種（價錢分別是 b₁、b₂、…、b_n），那麼最省錢的自然是越多人的組別使用越便宜的隊服（即逆序和），最花錢的自然是越多人的組別使用越貴的隊服（即順序和）。利用排序不等式，不難證明對任意正數 y₁、y₂、…、y_n 皆有

（不失一般性設 ，並設 和 ，再使用「亂序和 ≧ 逆序和」即可）。

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現在我們用以上結果來證明 AM-GM 不等式。不妨設 x₁x₂…x_n = 1（這可通過代換 得到），並設

即可得

從而證明了 AM-GM 不等式。

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順帶一提，排序不等式的等號成立當且僅當 或 ，大家不妨試試由此導出 AM-GM 不等式的等號成立當且僅當 。

AM-GM 不等式的幾個證明（四）

上回看過 AM-GM 不等式的一個「普通數學歸納法」證明。這裡我們再看三個類似的證明。一如之前，設 x_i 為正數，並已知 AM-GM 不等式對 n=1 和 n=2 成立。

假設 n=k 時 AM-GM 不等式成立，並考慮 n=k+1 時的情況。如果 ，則 AM-GM 不等式顯然成立，否則不妨設各數中 x₁ 最小，x_k+1 最大，那麼這 k+1 個數的平均（不論是算術平均或是幾何平均）均大於 x₁ 而小於 x_k+1。以下用三個方法證明 n=k+1 的情況。

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方法一

設 。由歸納假設可知

，

從而 ，其中最後一個不等式成立是因為

。

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方法二

設 ，則 ，故此

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方法三

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除了用數學歸納法外，AM-GM 不等式還可以用其他方法來證明，我們下回再看。

AM-GM 不等式的幾個證明（三）

在早前的文章中：

AM-GM 不等式的幾個證明（一）
AM-GM 不等式的幾個證明（二）

我們看過 AM-GM 不等式在 n=2 的情況時的一個「無言證明」，和一般情況的一個「反向歸納法」證明。這裡我們看一個使用一般數學歸納法的證明。

設 、，其中所有 x_i 皆是正數。正如上回所說，我們有 A₁ = G₁ 和 A₂ ≧ G₂。假設 A_k ≧ G_k。以下證明 A_k+1 ≧ G_k+1：我們有

而

因此 AM-GM 不等式對所有正整數 n 皆成立。使用數學歸納法證明 AM-GM 不等式的技巧還有很多，甚至有些證明可以不必使用數學歸納法，我們下回再看。

AM-GM 不等式的幾個證明（二）

上回給了 AM-GM 不等式的一個「無言證明」，但那只適用於 n=2 的情況。這次我們看一個完整的證明，方法是用「反向歸納法（backward induction）」。在 AM-GM 不等式的眾多證明中，這可說是最常見的一個。或者換個角度說會較為適合：在反向歸納法的眾多例子中，AM-GM 不等式是最常見的一個。

這裡先概述一下證明的方法。當 n=1 時，AM-GM 不等式顯然成立。當 n=2 時，我們也很容易證明 AM-GM 不等式成立，這是因為

而後者顯然正確。利用以上已證明的 n=2 結果（即兩個正數的算術平均大於或等於它們的幾何平均），我們有

從而 AM-GM 不等式對於 n=4 也成立（注意這裡兩次用到 n=2 時的結果）。由於以上不等式對任意四個正數 x₁、x₂、x₃、x₄ 成立，故特別地當 時也成立，從而有

這樣我們便從 n=4 的情況證明了 n=3 的情況！重覆以上的步驟，我們可以從 n=4 的情況推導出 n=8 的情況，再反向推導出 n=7、n=6 和 n=5 的情況，如此類推。這就是反向歸納法背後的理念。有興趣細讀詳情的話，可以參閱數學資料庫這份《數學歸納法》筆記中的 Theorem 3.5 和 Example 3.5。

證明 AM-GM 不等式還有很多其他方法，下回繼續。

AM-GM 不等式的幾個證明（一）

給定 n 個正數 x₁、x₂、…、x_n，它們的算術平均（arithmetic mean，簡稱 AM）是指它們之和除以 n，而它們的幾何平均（geometric mean，簡稱 GM）則指它們之積的 n 次方根，即

　和　。

AM-GM 不等式指出，n 個正數的算術平均必定大於或等於幾何平均，而且等號成立當且僅當該 n 個數皆相等。例如：2003、3、14 的算術平均約是 673.33，幾何平均約是 43.82。

本系列會探討 AM-GM 不等式的證明方法。今回先來一個「無言的證明（proof without words）」：

當然，以上證明只包括 n=2 的情況，純屬「欣賞指數高」之作。至於「實用指數高」的證明方法，我們下回再談。

三角不等式

三角不等式指出，在一個三角形中，任何兩邊的長度之和均大於第三條邊，即若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則必有 a+b>c、b+c>a 和 c+a>b。

直觀地說，三角不等式所說的其實是「連起兩點的直線是兩點之間的最短距離」。這件事大家都知道，而且動物也知道：一隻在 A 點的動物看到 B 點有食物的話，牠會以直線從 A 點走到 B 點，不會繞圈子的。

三角不等式及其變型在數學上有很多應用，例如：

• 以三角不等式證明其他不等式，例如：若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則可證明
  

a²b(a-b) + b²c(b-c) + c²a(c-a) ≥ 0

• 對任意複數 z 和 w，我們有
  

|z+w| ≦ |z|+|w| 和 |z-w| ≧ ||z|-|w||

• 若 d(a,b) 表示兩個位數相同的整數 a 和 b 有多少個數字不同（例如：d(12,34)=2；d(12345,13446)=3 等等），則對任意三個位數相同的整數 x、y、z 皆有

d(x,y) ≦ d(x,z) + d(y,z)

在日常生活中，我們也有類似的概念：如果兩人分別坐計程車，一人從尖沙咀直接到旺角、另一人先從尖沙咀到紅磡再從紅磡到旺角的話，前者的車費應該較後者便宜。如果以 d 表示距離或車費，則這可寫成

d(尖沙咀,旺角) ≦ d(尖沙咀,紅磡) + d(紅磡,旺角)。

可是很奇怪，現時的港鐵車費並不滿足三角不等式，而且有很多不滿足三角不等式的例子，以下列出幾個：

車票種類	路線 1	路線 1 車費 （港元）	路線 2	路線 2 車費 （港元）
成人八達通	尖東 → 羅湖	34.8	尖東 → 上水 上水 → 羅湖	10.8 + 18.8 = 29.6
學生八達通	馬鞍山 → 尖沙咀	10.4	馬鞍山 → 佐敦 佐敦 → 尖沙咀	7.7 + 2.3 = 10.0
成人八達通	元朗 → 荃灣	15.9	元朗 → 荃灣西 荃灣西 → 荃灣	10.7 + 3.6 = 14.3
學生八達通	屯門 → 落馬洲	44.8	屯門 → 粉嶺 粉嶺 → 落馬洲	17.3 + 18.8 = 36.1
成人八達通	屯門泳池 → 濕地公園	5.8	屯門泳池 → 屯門 屯門 → 兆康 兆康 → 濕地公園	0.0* + 3.7 + 0.0* = 3.7

* 輕鐵與西鐵線之轉乘優惠

也就是說，假如你持成人八達通從尖東到羅湖的話，本來是不用轉車的，可是如果在上水「轉車」的話，即可省回 5.2 元車費！據觀察，有些「經驗豐富」的人甚至不用「轉車」，他們會準確地計算閘機的位置，列車一到達上水站便出閘，再立即以另一張八達通咭入閘（必須使用另一張八達通咭，因為東鐵線的系統在出閘 1 分鐘內是不能再入閘的）登上原車！