AM-GM 不等式的幾個證明（三）

在早前的文章中：

AM-GM 不等式的幾個證明（一）
AM-GM 不等式的幾個證明（二）

我們看過 AM-GM 不等式在 n=2 的情況時的一個「無言證明」，和一般情況的一個「反向歸納法」證明。這裡我們看一個使用一般數學歸納法的證明。

設 、，其中所有 x_i 皆是正數。正如上回所說，我們有 A₁ = G₁ 和 A₂ ≧ G₂。假設 A_k ≧ G_k。以下證明 A_k+1 ≧ G_k+1：我們有

而

因此 AM-GM 不等式對所有正整數 n 皆成立。使用數學歸納法證明 AM-GM 不等式的技巧還有很多，甚至有些證明可以不必使用數學歸納法，我們下回再看。