四條青龍

外電報導，英國四名老人玩撲克牌時，每人獲發的 13 張牌都是「一條青龍」（即同一花式的 A、2、3、…、Q、K）。報導中提及，「數學家們稱出現這種情況的概率為 1/2235197406895366368301559999」。

報導是否屬實無從考究（即使屬實，不當的派牌方法也可以大大提升出現「四條青龍」的概率），但這個概率卻奇怪非常。分母的最後四位數字都是 9，未免太過巧合了吧？

懂得基本數算方法的讀者自然知道，計算分母的公式是 ，而考慮 2 和 5 的因子的話，明顯可以看到這個數的個位數字應是 0。大家不妨用電腦計算一下（例如可以用上回提到的 Wolfram Alpha），這個數應是 2235197406895366368301560000，即比報導中的數大了 1。大家不妨競猜一下，2235197406895366368301559999 這個數是如何得出來的。

一道概率問題（下）

上回提到，在計算概率並數算「可能結果的總數」時，必須確保每個可能結果的出現機會均等。這裡我們以一道培正數學邀請賽的試題來加以說明。

今年培正數學邀請賽決賽的中四組第 9 題和高中組第 10 題是相同的，都是計算題中遊戲的勝出概率。由於每個球可射進其中一條坑道，因此可能的結果共有 5⁵ = 3125 個。以「成一鉛垂線」勝出的可能結果有 5 個，而以「成一水平線」勝出的可能結果則有 5! = 120 個（因為該 5 個球有 120 種不同方式被「分配」進 5 條坑道）。因此答案是 (5+120)/3125 = 1/25。

本題有 45.4% 的參賽者答對，以「5 分題」來說屬正常水平。值得留意的反而是三個最常見的錯誤答案，它們分別是 6/3125（12.8%）、1/21（8.2%）和 2/3125（2.0%）。參賽者是如何得出這些答案的呢？

6/3125 顯然是因為把以上的「120」當成了「1」，而這顯然是不正確的，因為在數算出 3125 個可能結果的過程中，那「1」個可能結果（即 5 個球成一水平線）是被數算了 120 次的。而 2/3125 則顯然是把「5」和「120」都當成了「1」，也自然是不正確的。

1/21 呢？相信這是從 6/126 化簡而來的。「6」個勝出的結果自然是「5 直 1 橫」。如果「成一水平線」的結果只算一次的話，那麼可能結果的總數是多少？（也就是說我們只關心每條坑道中球的數目，例如 (1,1,1,1,1) 只算一次，這個在之前的解法中是算了 120 次的；而 (5,0,0,0,0) 和 (0,5,0,0,0) 則算作兩個不同的結果。這裡 (0,5,0,0,0) 表示 5 個球都被射進第二條坑道，如此類推。）這個總數就是方程 a+b+c+d+e=5 的非負整數解的數目，即 H(5,5) = C(9,5) = 126。

這個解法有甚麼問題呢？問題正正就出在之前所說的「必須確保每個可能結果的出現機會均等」那兒。出現 (0,5,0,0,0) 顯然比 (1,1,1,1,1) 難：直觀地想，前者必須每個球都射進第二條坑道，至於後者，則開首的幾個球有「較大的自由度」。因此這樣計算出來的概率是不正確的，這跟 5 個球相同與否（identical or distinguishable）也是無關的（直觀地想，5 個球的顏色相同或不同，應該不會影響勝出的機會吧！）。

當然，在高等數學中，概率的定義要嚴格得多。有興趣的讀者可以參看數學資料庫關於概率的教學單元。

一道概率問題（上）

在中學教科書中，概率（probability）的定義一般是這樣寫的：

　　　　　　　　　　　符合Ｅ的結果的數目
　　事件Ｅ的概率　＝　－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　可能結果的總數

在高等數學中，概率的定義要複雜得多，因此在中學教科書中有一個「簡易版」實在可以理解。然而，以上版本卻未免太簡易了，很容易「鬧出笑話」，例如：六合彩頭獎的中獎機會是多少？由於可能結果有兩個（「中」或「不中」），那麼機會應該是 1/2 吧？另一個人說：非也，六合彩有頭獎至七獎，也可能不中獎，所以頭獎的中獎機會應是 1/8 才對。

這當然是不正確的。錯誤在那裡呢？在數算「可能結果的總數」時，我們必須確保每個可能結果都是「出現機會均等」的，而在以上例子中，「中」與「不中」顯然不是機會均等的，因此我們不能說可能結果有兩個。

投擲兩顆骰子，總數是 11 點的概率是多少？這個不難，可能的結果有 6x6 = 36 個，符合條件的結果有 (5,6) 和 (6,5) 兩個，因此答案是 2/36 = 1/18 吧。為甚麼 (5,6) 和 (6,5) 應算作兩個不同的結果？（同樣道理，在數算可能結果的總數時，(1,2) 和 (2,1) 等也是數了兩次，因此才得出 36 這個數的。）那正正就是因為要確保每個可能結果的「出現機會均等」-- 如果 (5,6) 和 (6,5) 只算一次，而 (1,1) 也算一次的話，那麼 {5,6} 出現的機會是比 (1,1) 高的。

值得注意，(5,6) 和 (6,5) 應該算是一個可能結果還是兩個，跟兩顆骰子是否相同（identical or distinguishable）是無關的。而「出現機會均等」這條件的重要性，我們在下回將以一道培正數學邀請賽的題目作說明。

骰戰

以下有三個問題，你能在短時間給出解釋和答案嗎？

甲有三粒骰，乙有兩粒骰。他們各自摘骰後，設甲三粒骰的數字由大至小為A1,A2,A3，乙兩粒骰的數字由大至小為B1,B2。

1) 若A1比B1大，甲得一分；若B1比A1大，乙得一分。若A2比B2大，甲得一分；若B2比A2大，乙得一分。誰分數較多為勝。問誰贏的機會較大？

2) 規矩同1)，但再加一條：若A3是1、2或3，乙得一分；若A3是4、5或6，甲得一分。現在誰贏的機會較大？

3) 規矩同1)，但若A1=B1，乙得一分；若A2=B2，乙得一分。（在1)時，若A1=B1或A2=B2，甲乙都沒有分數。）現在誰贏的機會較大？

當然，這些都不是特別難的概率問題，你大可仔細地算出兩者贏出的機會。但，你可以作出一個non-quantitative的解釋嗎？（註：我不肯定是否有non-quantitative的解釋，但大家可以想想。）

洗幾次牌先「夠」？

一幅啤牌52隻，發展出很多趣的遊戲出來，包括橋牌、「鋤大D」、廿一點等等。每盤遊戲結束，指定動作就是洗牌。相信你一定見到有人隨便「cut兩cut」就算，但亦有人洗一次牌洗成分鐘，有點掃興的味道。

究竟，洗牌要洗幾多次先「夠」？

要回答這條問題前，首先要定義甚麼是「夠」。從概率學上，「夠」可以定義為每一個可能性出現的機會都（大約）相等。1992年Bayer和Diaconis研究了以下一種洗牌方法（以下一段不只針對啤牌；一幅牌可以有n隻）：

首先一幅牌排成一疊，然後每隻牌順序抽出，再擲骰仔決定放左面還是右面：若是單數放左面，若是雙數放右面。然後將左面的牌疊在右面的牌的上方。

這種洗牌方法叫inverse Gilbert-Shannon-Reeds shuffle (inverse GSR shuffle)。Bayer和Diaconis証明了若進行大約次inverse GSR shuffle，副牌就大約「洗勻」了。換言之，對啤牌來說，需要洗牌大約 8.55 次。

當然，現實中用inverse GSR shuffle未免太慢了（擲52次骰仔，每次1秒，再加其餘動作，最少也要1分鐘吧）。但大家想想，若inverse GSR shuffle如兩段前所述，那麼non-inverse GSR shuffle會是怎樣的？大家又是否覺得似曾相識呢？

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Below is for more advanced math students. Only people who have some background on Markov Chain theory should continue reading:

For those who know about Markov Chain theory, you may easily see that it is a Markov process. As every element in the symmetric group has an inverse, it is easy to observe that the eigenvector with eigenvalue 1 is indeed the "uniform distribution vector".

The period of the corresponding stochastic matrix must be 1, since there is non-zero probability that the inverse GSR shuffle remains the deck unchanged. Hence by Perron-Frobenius theorem, all other eigenvectors must be with eigenvalue of modulus strictly less than 1. So after shuffling sufficiently many times, no matter how the intial distribution is, it must converge to the unifrom distribution.

In other words, you may say converging to uniform distribution is an immediate result of Perron-Frobenius theorem. Bayer and Diaconis were analyzing how fast the convergence is.

話事啤

很多以賭博為題的電視劇或電影中都會出現「話事啤」遊戲，劇中出現的賭局往往是「同花順贏四條」之類的「夢幻組合」。大家只要「實戰」一下的話，肯定會發現出現「花」或以上的牌組其實已經極其困難，即使窮畢生的精力，恐怕也未必能遇上這樣的情況。

我們不妨計算一下「花」出現的概率。五張牌的組合共有 C(52,5)=2598960 個，而「花」的組合則有 4x(C(13,5)-10)=5108 個。（這裡「4x」是因為有四門花式可選擇，「C(13,5)」是因為每次從指定花式的 13 張中選 5 張，「-10」是要除去「同花順」的可能性。）因此出現「花」的概率是 5108/2598960，即約 0.1965%，故此平均每 509 手牌才有一次「花」的出現。「夫佬」、「四條」和「同花順」要難得多，例如「同花順」出現的概率只有 40/2598960（約 0.0015%），平均每 64974 手牌才會出現一次。

值得一提，電視劇或電影中不時會出現「三條贏蛇」的場面，而現實中亦有人採納這樣的規則。但經計算可知，「三條」出現的概率是 54912/2598960（約 2.1128%），而「蛇」出現的概率則是 10200/2598960（約 0.3925%），可見得到「三條」比「蛇」容易得多，因此「國際慣例」是「蛇贏三條」的，這也是較合理的規定。

「甚麼也沒有」的概率是多少？只要從 1 減去「一對」、「兩對」、「三條」、「蛇」、「花」、「夫佬」、「四條」和「同花順」的概率，可得 1302540/2598960（約 50.1177%）。細看一下，原來剛好是「花」的概率的 255 倍，這不太可能是巧合吧？再想一想，你是否已經彷然大悟呢？當你再發現「蛇」的概率也正好是「同花順」的 255 倍時，你又是否在驚嘆數學竟可這樣美麗和迷人？

充滿數學哲理的名言（一）

有些名言充滿數學哲理，本文選談兩個和概率論有關的名言。

上得山多終遇虎

這句話原指走到山上要面對老虎帶來的危險，即使一次沒有遇到，但如果不斷上山的話，總會有遇到老虎的一天，通常用作比喻做壞事的人終會受到制裁。這話背後有甚麼數學哲理呢？假設每次上山「遇虎」的概率為 p (>0)，且上山 n 次後遇虎最少一次的概率是 P_n，則 P_n = 1 - (1-p)ⁿ，故此不難發現當 n 趨向無限大時，P_n 的值趨向 1，應驗了「終遇虎」的結論！

一鳥在手勝過二鳥在林

這句話相信是出自英語的「One bird in hand is worth two in the bush」，不論中英文版本都有一些「變種」，主要是把「二」變成其他數字，不過意思也都相同，就是說「實在」勝過「浮雲」，有時則用以比喻要珍惜現在，別奢求無法得到的東西。

這話背後又有甚麼數學哲理？一鳥在手是否勝過二鳥在林，表面上視乎「在林」的鳥可以「到手」的概率 p，也就是視乎「二鳥在林」的期望值（expected value）。如果 p>0.5 的話，則「二鳥在林」的期望值是比「一鳥」高的。那麼為甚麼有一鳥在手「勝過」二鳥在林的說法呢？

很多時候，我們下決定時都不只看期望值。舉例說，假設你的身家有 n 元，現讓你從一副紙牌中抽兩張，如果抽到黑桃 A 和紅心 A 的話獎你 100000 n 元，否則輸掉 n 元，遊戲只可玩一次。這個遊戲的期望值是個很大的正數（當然是相對 n 而言），你願意參加嗎？ 除了期望值外，離差（dispersion）也會影響我們的決定，例如標準差（standard variation）是一個常見的離差指標。一般來說，我們希望離差越小越好，於是以上遊戲中正數的期望值便不足以彌補很大的離差。

這就解釋了一鳥在手為何可以勝過二鳥在林了 -- 因為「一鳥在手」時標準差是零，而「二鳥在林」時標準差是正數呢！

概率證明

有些時候，我們可以利用概率的性質來證明一些組合題。即使題目本身看來和概率毫不相干，但加入了概率的考慮往往可以讓我們得出一個簡潔的證明。以下提供一個例子。

問題：

某學校響應微調政策，開辦的 n 個科目均設中文班和英文班。每位同學均可自由選讀不同的科目，數量不限，但同一科目不可同時報讀中文班和英文班。已知對任意兩個科目，均存在一名學生以不同語文同時修讀兩科。若每科最多有 10 名學生修讀，求 n 的最大可能值。

大家看下去前，不妨先停下來自己動動腦筋。

解答：

n 的最大可能值是 1024。

我們首先注意到 n=1024 是可能的：如果全校有 10 位學生，每人均報讀全部 1024 個科目，且學生 i 報讀第 j 個科目的中文班當且僅當 j 的二進制表示中右方數起的第 i 個位是 1（否則報讀第 j 個科目的英文班），則不難檢查得知這符合題中的條件。

以下證明 n 不可大於 1024。假設學生入學時會被隨機編成「中文人」或「英文人」。設 E_i 表示事件「第 i 個科目的學生全部選讀了對應自己身份的語文班」，則由於每科最多有 10 名學生修讀，故 P(E_i) ≧ 1/2¹⁰ = 1/1024。再者，由「對任意兩個科目，均存在一名學生以不同語文同時修讀兩科」可知 E₁、E₂、…、E_n 是互斥事件，故此

1 ≧ P(E₁∪E₂∪…∪E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n) ≧ n/1024，

從而必有 n≦1024。

這個帶點神秘感的概率題解，某程度上其實對應一些數算的技巧，再用概率加以包裝。概率證明還可以處理一些更複雜的情況，例如可以使用 Lovasz local lemma 來處理一些難以準確計算的概率，有興趣的讀者可點擊上方的連結細看。順帶一提，證明以上定理的 Lovasz 曾在國際數學奧林匹克（IMO）奪得三金一銀，而他的兒子至今亦已在 IMO 奪得一金一銀！

投票選冠軍的概率問題－－錯處在哪？（下）

注意：請先看畢本文的第一部分，並想過當中的概率問題才看這篇文章。
　　正如第一部分的提示所說，我們先考慮只有 3 人投票的情況。假設兩位參賽者為 P 和 Q，三位觀眾 A、B 和 C 皆隨機投票。現計算各情況下 A 可參加抽獎的概率：

A 的選擇	B 的選擇	C 的選擇	冠軍	A 可否參加抽獎？
P	P	P	P	可以
P	P	Q	P	可以
P	Q	P	P	可以
P	Q	Q	Q	不可以
Q	P	P	P	不可以
Q	P	Q	Q	可以
Q	Q	P	Q	可以
Q	Q	Q	Q	可以

由上表可知，A 可獲抽獎的概率是 ，而不是第一部分提及的 。原因很簡單：當 A 投了票，他所選的對象便已獲一票，故當其他人隨機投票時，A 所選的對象便較有優勢，只需在餘下的票取得剛好一半便勝出。那麼第一部分提及的「因為所有人都隨機投票，所以兩名參賽者得冠軍的概率相等，皆為 」錯了甚麼？其實它沒錯，只不過在這裏不適用。這是因為經過 A 的投票後，兩位參賽者 P 和 Q 已經不對稱了。這一點在票數較少的情況下才明顯。
　　接著我們考慮 A 被抽中的概率：

A 的選擇	B 的選擇	C 的選擇	冠軍	此情況 的概率	此情況下 A 被抽中的概率	A 被抽中 的概率
P	P	P	P
P	P	Q	P
P	Q	P	P
P	Q	Q	Q	0	0	0
Q	P	P	P	0	0	0
Q	P	Q	Q
Q	Q	P	Q
Q	Q	Q	Q
					總計

　　你看，A 被抽中的概率是 ，與我們預期的相同。至於第一部分提到的情況，各位自行算一算吧，情況很相似。

投票選冠軍的概率問題－－錯處在哪？（上）

　　電視遊戲和比賽常常講求互動，讓觀眾也參與其中，增加投入感。讓觀眾投票選出比賽得勝者是其中一種常見的互動方法。為了吸引更多觀眾參與，主辦機構會在選中優勝者的參賽者當中，抽出若干幸運兒獲獎。

　　現假設某比賽只有兩名參賽者，共有 1001 名觀眾投了票選冠軍（票數較多者勝）。主辦機構會抽出一位選中冠軍的觀眾獲得獎品。其中一位觀眾想用概率的知識計算他獲獎的機會。他假設所有人投票都是隨機的，然後這樣想：

　　「因為所有人都隨機投票，所以兩名參賽者得冠軍的概率相等，皆為 （注意這裏沒可能平局）。假如我選中冠軍，便可參加抽獎。明顯地，冠軍的得票不少於 501 票（ = 500.5），因此我被抽中的機會不多於 。由此可知，我選中冠軍而又被抽中的概率不多於 。」

　　整個投票過程裏，每位觀眾的角色都是對稱的。因此這 1001 位觀眾當中任何一位獲獎的機會皆不多於 。由此可知，他們當中有人獲獎的機會不多於 。咦，為甚麼這些概率加起來比 1 小？他們當中不是總有一人會得獎嗎？消失了的 概率逃到哪裏去？

　　現在先讓各位思考和討論，下星期六解題。提示是先考慮小的情況（如 3 人投票），以及將上述各事件寫清楚。還有，問題不在假設了各人隨機投票。

猜包揼

[這是網友singmay向數學資料庫手記提供的文章。]

我們常常要將一群 2n 個人分成兩個 n 人小組，一個常用的方法是「猜包揼」。用簡單的組合知識可以知道每次「猜包揼」成功分組的概率為 C(2n,n) / 2^(2n) ，例如要將12人隨機分成兩組進行排球比賽，用「猜包揼」的方法每次成功的概率是 231/1024 ，另外一個講法是所需要的次數的期望值為 1024 / 231 = 4.4329 。當n很大的時候，成功的概率會越來越少。一個有趣的事實是所需次數的期望值隨著 n 趨向無限而趨向於 sqrt(n * pi) [1]。人太多的時候這可以很花時間，所以這時很多人會用「數1、2」的方法代替，但大家也知道「數1、2」不是一個很隨機的方法，因為通常大家所在的位置並不是完全隨機的，有沒有辨法保持分組方法的隨機性 [2] 而增加分組方法的效率呢？


其中一個方法是在 2n 個人中預先選定一人離開，跟著用「猜包揼」將剩下的2n-1人分成 n 人及 n-1 人兩組，然後將預先選定的那個人分配入有 n-1 人那一組；由對稱性不難知道這個方法沒有損失隨機性，而每次成功分組的概率則會大大增加，例如當 n=6 時，新的方法的成功概率為 231/512 。細心的讀者會發現這個概率是原先的兩倍，而所需要的次數的期望值則是原來的一半。這並不是巧合。事實上無論 n 是多少，新的方法每次的成功概率皆為原來的兩倍，這可以從恆等式 C(2n-1,n-1) + C(2n-1,n) = C(2n,n) 直接看出來 [3] ，有興趣的朋友不防自己證明作為練習。

在實際應用的時候，由於解釋這個方法要花一點時間，本人慣用的做法是自己不出手顯示「包」或「揼」，當其他人分開為 n 人及 n-1 人兩組後自己便加入有 n-1 人的那一組。如果當中有一些是數學人，他們很快會明白本人的意圖，也理解這個方法也是完全隨機的；但如果當中大部份也不是數學人，他們便會說一句「你做乜嘢唔出呀？玩嘢咩！」與其嘗試解釋這個方法為何可行，不如從頭再猜一次，結果反而浪費了時間。

註：
[1] 這點可以用Stirling’s formula證明。Stirling’s formula是 n! 的近似公式，有興趣的朋友可以在這裡找到一篇很好的介紹：
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_17_2_05/index.html

[2] 這裡隨機的嚴格定義是所有可能組合出現的概率也相等。

[3] 另外一個有趣的解釋是預先被選的那人出「包」或「揼」已沒有所謂，所以成功機會剛好是兩倍。

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數學資料庫所作的補充：第一次有網友向我們提供文章作刊登，本會成員都很高興。希望這個先例可以令更多網友提供關於數學的文章作刊登，令手記成為大家交流數學的一個平台吧！

[以下是 marco_dick 的補充。]

關於上文註[2]所講的「所有可能組合出現的概率也相等」，部分讀者可能不明白，所以在此舉一個不是所有可能組合出現概率相等的例子。

設有 2n 個人，若我們先抽出兩人 A 和 B，然後讓餘下的 2n-2 人以 singmay 在文章第一段所講的方法分成兩個 n-1 人的組別，再隨機讓 A 和 B 每個人加入其中一組，那麼每次可成功分組的機會率會由 C(2n,n) / 2^(2n) 增加至 C(2n-2,n-1) / 2^(2n-2) 。

但是，這種分組方法是會令 A 和 B不可能在同一組；換句話說，所有 A 和 B 同組的組合出現的概率是 0，而A 和 B不同組的組合出現的概率則不是 0，所以這個分組方法違背了「所有可能組合出現的概率也相等」這個原則。

不過這種分組方法在現實中是有用的。例如，當 A 和 B 是仇家時……又例如，10個人分兩組打籃球，但當中只有2個人適合打中鋒（Center），那就必需將他們分開在不同的組。

另外，在每四年一屆的足球世界杯，大會每設出8隊「種子隊」，每隊「種子隊」在分組賽中不會同組，也是「不是所有可能組合出現的概率也相等」的一個例子。

車公廟求籤

　　鼠年伊始，謹在此祝賀大家新年進步，心想事成！

　　自 1998 年起，政府或鄉議局總會派代表在大年初二到車公廟為香港求籤。兩天前的大年初二，鄉議局主席劉皇發求籤時，《明報》記者從相片發現籤筒裏的籤數不足全數 96 枝。今天《明報》報道他們再到過車公廟抽樣檢查了 8 個籤筒，發現只有一半完全準確（即齊備 96 枝不同的籤），而其他 4 個有缺漏或重覆。究竟籤筒裏的竹籤「不合規格」，會否影響求籤時得到各枝籤的概率呢？

　　如果籤筒經過刻意的處理，例如取走所有下籤和中籤，概率顯然受影響。但如果缺漏或重覆純粹因為善信取走他們求得的籤，又或不慎把求得籤放在其他籤筒裏呢？原來只要原來的籤筒符合規格，這兩件事都不會影響求得各枝籤的概率！

　　我不打算在此寫出嚴謹的證明，只想提出證明的重點，餘下部分讓讀者填空。假設某符合規格的籤筒不慎被先來的善信取走了一枝籤。如果取走了的籤是 1、2、3、……、94 或 95 號（概率為 95/96），後來的善信求籤時，因為籤筒只餘 95 枝籤，所以求得 96 號的概率會由原來的 1/96 升至 1/95。反之，如果取走了的籤是 96 號（概率為 1/96），再求得 96 號籤的概率明顯是 0。因此，後來的善信求得 96 號籤的機會是 95/96 × 1/95 + 1/96 × 0 = 1/96，與從合格的籤筒求籤的概率相同。

　　由上述的例子可知，隨機抽走一枝籤不會影響求籤的概率。我們同理可證隨機多放一枝籤亦不影響求籤。更有趣的是，只要小心運用數學歸納法，不難發現只要原來的籤筒符合規格，而取走或多放籤的過程都是隨機的，籤筒裏籤的分佈根本與求得各籤的概率無關。換言之，即使籤筒裏只有一枝籤也沒問題！

　　如果你相信沒有人刻意改變籤筒的籤，下次到車公廟求籤時，便不用計較籤筒裏的籤數多了或少了。

　　順道賣廣告。如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！

佢未必係生果讀者！

最近生果報在港鐵有一系列的廣告，其中一幅就是廣告的中間有一個男人說請食飯，然後旁邊有幾個人來一個「設計對白」：「又請」。廣告右上角寫著：「佢梗係生果讀者！」然後引述一間調查機構的報告，指高收入人士中最多人看生果報。

「佢梗係生果讀者」的意思就是基於廣告描述他是一個高收入人士，故他是生果報的讀者的機會率是1。當然，心水清的朋友已經意會到這是誇張，因為生果報在高收入人士中的市場佔有率根本就不是100%。

但若果生果報真的在高收入人士的市場佔有率是100%，又是否代表那個請食飯的男人一定是生果報的讀者呢？

不是。因為我們還不知道香港的高收入人士中有多少人會買報紙看。若然香港每100個高收入人士中，只有40個會買報紙，那麼即使生果報在高收入人士的市場佔有率真的是100%，那也只代表香港只有40%的高收入人士是生果報的讀者。因此，那個請食飯的男人是生果報讀者的機會率就只有0.4。

香港是一個商業社會，到處都是廣告，我們不難找到當中涉及具誤導性的對白，例如「物件A比其他同類產品的堅硬度多出3倍」、「公司B和公司C的銷售同類產品中，公司B的營業額比公司C高50%」。前者我們根本不知道他們怎樣量度「堅硬度」，而後者隱藏了產品的單價。若公司B的產品單價是公司C的產品單價的2倍，那麼該句對白其實表示了公司B賣出的產品數目比公司C少25%。

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概率與「一擲千金」

相信大家都聽過「一擲千金」遊戲。最近，我在某討論區發現有關這遊戲的一則討論： 「到了最後，外間已開了二十四個箱，都不是三百萬。三百萬不是在參與者的箱就是在外間餘下唯一的箱，機會是一半一半嗎？當然不是，在參與者的箱的概率仍是二十六分之一，在外間的箱則是二十六分之二十五。」

大家同意這說法嗎？在讀下去之前不妨停下來先想一想。

我們先看看另一個電視遊戲節目。在遊戲中，參賽者需在三個寶箱中選一個。已知其中兩個寶箱是空的，選中另一個則可贏得名貴房車。參賽者選了一個寶箱後，主持人在餘下兩個寶箱中 打開一個空的寶箱（主持人知道房車的位置，而餘下兩個寶箱中最少一個是空的）。這時還剩下兩個寶箱，分別是參賽者選了的一個和餘下主持人沒有打開的一個。主持人給參賽者一次改變主意的機會，讓他改選餘下沒有打開的寶箱，那麼參賽者應否改變主意？

很多人都認為，餘下兩個寶箱中獎的機會都是二分之一。當然，懂得數學的人都知道參賽者應該改選餘下沒有打開的寶箱，因為那個寶箱中獎的機會其實是三分之二而不是二分之一。

這 對非數學人來說是很難接受的，他們一定會說「明明兩者機會均等，為何概率不是二分之一？」之類的說話。通常我會用以下方法來說服他們：在一副 52 張的紙牌中讓「參賽者」先選一張（選中黑桃 A 便中獎），然後我在餘下 51 張牌中打開 50 張不是黑桃 A 的牌（我會先看過確保不是黑桃 A 才打開），這時只剩下參賽者選的一張牌和我沒有打開的一張牌，然後我給他們機會改選後者，這樣的話一般人大概都會明白改選後者是較為明智的（事實上，後者 中獎的機會是 51/52），儘管他們可能仍是一頭霧水。

現在回到「一擲千金」的遊戲。26 個寶箱打開了 24 個後，三百萬的寶箱還沒有打開。那麼參賽者一開始選定的寶箱是三百萬寶箱的機會，是 1/26 嗎？表面上看，這跟之前所說的沒有兩樣，都是在 n 個選擇中先選一個，然後「打開」了 n-2 個，最後餘下參賽者原先選了的個和沒有被打開的一個。（以上三個情況分別對應於 n = 3, 52, 26。）

然而，只要稍為分析一下，便知道「一擲千金」中的情況其實是不同的。假設餘下的兩個寶箱分別是一元和三百萬，則如果參賽者的寶箱是三百萬的概率真的是 1/26 的話，那麼同理參賽者的寶箱是一元的概率也應該是 1/26，則餘下的 12/13 機會去了哪裡？事實上，參賽者的寶箱是三百萬和一元的概率都是 1/2。

為甚麼「一擲千金」和之前的房車／紙牌遊戲不同呢？關鍵是那 n-2 個「不是房車／黑桃 A／三百萬」的東西是如何打開的。在房車／紙牌的例子中，是由主持人在知情的情況下打開的，但在「一擲千金」中，參賽者是在不知道寶箱內容的情況下打開的。事實上，在前兩者中，每次都可以打開 n-2 個「不是大獎」東西，但在「一擲千金」中，開了 24 個寶箱後仍未開出三百萬的機會只有 1/13 呢！