數學資料庫現正招聘兼職助理一名，詳情可參閱此PDF檔。
MD is now hiring a part-time assistant. For details, please see this pdf file.
2008年5月24日 星期六
2008年5月19日 星期一
Cute presentations of advanced theorems
Here's a website in which some advanced theorems were manifested in a cute way!
http://www.theoremoftheday.org/index.html
The treatment is similar to MD's "Math Tips" 「數學小提示」.
http://www.theoremoftheday.org/index.html
The treatment is similar to MD's "Math Tips" 「數學小提示」.
2008年5月17日 星期六
網站資源創作比賽結果
由去年十一月發信到學校、等待作品的遞交，到二月尾後又要處理作品的文書工作，再經鄭紹遠教授、李健賢教授、歐國強教授和張家麟博士及MD的會員的評審，2007/08的網站資源創作比賽獎項花落誰家終於都塵埃落定。
大家可以到網頁 http://db.math.ust.hk/competition/essay/0708/c_result.htm 瀏覽比賽結果。當中不少的作品都很不俗，我們再過一些時間就會把作品上載，大家就可以欣賞得獎者的佳作了。
在2008年5月31日下午2時至4時，數學資料庫會在香港科技大學周德新講堂（LT-G）舉行頒獎典禮。我們邀請了香港科技大學數學系陳炯林教授以"Academic Excellence, Social Responsibility, and Science"為題作公開講座。詳情可按此瀏覽。
是次活動歡迎公眾參加。如有任何疑問，可發電郵到 mdwrc08@gmail.com 查詢。
大家可以到網頁 http://db.math.ust.hk/competition/essay/0708/c_result.htm 瀏覽比賽結果。當中不少的作品都很不俗，我們再過一些時間就會把作品上載，大家就可以欣賞得獎者的佳作了。
在2008年5月31日下午2時至4時，數學資料庫會在香港科技大學周德新講堂（LT-G）舉行頒獎典禮。我們邀請了香港科技大學數學系陳炯林教授以"Academic Excellence, Social Responsibility, and Science"為題作公開講座。詳情可按此瀏覽。
是次活動歡迎公眾參加。如有任何疑問，可發電郵到 mdwrc08@gmail.com 查詢。
An interesting exact sequence
Today in the common room I saw the following exact sequence:
1 -> boring stuff -> life -> math -> 1
So life modulo boring stuff is math!
1 -> boring stuff -> life -> math -> 1
So life modulo boring stuff is math!
2008年5月16日 星期五
一條附加數學題
(a) 若給定了 n 個數字
，設
，證明當x是的平均值時，
的數值最小。
註：就是中四、中五的學生在數學科學到的variance了（不記得中文名 >.<""）
(b) 設
，證明或反證（prove or disprove）以下命題：當x是的平均值時，
的數值最小。
以上的問法，放在會考附加數學卷是沒有問題的；最多只會被一些野蠻的學生批評為「唔standard」（猶指 (b)）罷了。
但，其實也可以這樣問。
(a) 平均值是不是令標準差最小呢？
這是我想到這條題目的靈感所在。這裏其實涉及兩個不同的思考。學生們大部分都知道怎樣用給定數據來計算平均值；這裏是指平均值是被計算出來的。這是第一種思考。
但(a)是將平均值當成一個變數，然後求極值問題。這是第二種思考。
(b) 證明了 (a) 後，學生可否推而廣之，想想是否亦在x取平均值時為最小呢？若4改為6、8，又如何？
公開試數學的題目主要兩種：一是計算；二是告訴你一個事實，要你證明它。但題目卻甚少要求學生自行判斷一個命題是否正確，然後作出證明/反證。
(c) 你覺得
（x為平均值時）是一個代表判斷數據是否集中的好指標嗎？若你覺得這是好指標，詳加說明之；若你覺得這不是好指標，請解釋，並嘗試「改良」它。
在現實生活中，你做的決定並不是每一個都是循規蹈矩、有前車可鑑的；這也是人類發揮腦袋裏的創意的時候。這時很多方法在腦袋中出現，但並不是每一個都是好的；所以當你腦裏有一個方法時，同時你亦需要判斷一個方法好不好。這時考慮就需要周全；對一個情況是好並不代表對另一個方法都好。補習時偶然會見到一個情況。學生判斷一個命題是否正確時，往往就是代一組數進去，符合了就說命題正確，錯了就說命題錯誤。
若方法不好，有時我們會想另一個方法，有時我們會改良。
，設，證明當x是的平均值時，的數值最小。註：
就是中四、中五的學生在數學科學到的variance了（不記得中文名 >.<""） (b) 設
，證明或反證（prove or disprove）以下命題：當x是的平均值時，的數值最小。以上的問法，放在會考附加數學卷是沒有問題的；最多只會被一些野蠻的學生批評為「唔standard」（猶指 (b)）罷了。
但，其實也可以這樣問。
(a) 平均值是不是令標準差最小呢？
這是我想到這條題目的靈感所在。這裏其實涉及兩個不同的思考。學生們大部分都知道怎樣用給定數據來計算平均值；這裏是指平均值是被計算出來的。這是第一種思考。
但(a)是將平均值當成一個變數，然後求極值問題。這是第二種思考。
(b) 證明了 (a) 後，學生可否推而廣之，想想
是否亦在x取平均值時為最小呢？若4改為6、8，又如何？公開試數學的題目主要兩種：一是計算；二是告訴你一個事實，要你證明它。但題目卻甚少要求學生自行判斷一個命題是否正確，然後作出證明/反證。
(c) 你覺得
（x為平均值時）是一個代表判斷數據是否集中的好指標嗎？若你覺得這是好指標，詳加說明之；若你覺得這不是好指標，請解釋，並嘗試「改良」它。在現實生活中，你做的決定並不是每一個都是循規蹈矩、有前車可鑑的；這也是人類發揮腦袋裏的創意的時候。這時很多方法在腦袋中出現，但並不是每一個都是好的；所以當你腦裏有一個方法時，同時你亦需要判斷一個方法好不好。這時考慮就需要周全；對一個情況是好並不代表對另一個方法都好。補習時偶然會見到一個情況。學生判斷一個命題是否正確時，往往就是代一組數進去，符合了就說命題正確，錯了就說命題錯誤。
若方法不好，有時我們會想另一個方法，有時我們會改良。
2008年5月7日 星期三
數學歷史故事（二）
這是上functional analysis聽到的另一個故事，得啖笑。
話說波蘭有一間大學，學者喜歡在下午到一間cafe（不明所以地，叫做Scottish Cafe）討論數學問題。有一些數學問題是很難的，於是某些學者便說能解某題就有某某獎品。
有一個學者叫Stanislaw Mazur（他是Banach的學生），在1936年亦問了一個很難的問題，而獎品是……一隻生鵝……
一直到1972年，才有一個瑞典的數學家Per Enflo給出證明。Per Enflo到了Warsaw University講解他的證明，而後來，他帶了一隻生鵝回瑞典……
有相為證：http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Mazur.html
話說波蘭有一間大學，學者喜歡在下午到一間cafe（不明所以地，叫做Scottish Cafe）討論數學問題。有一些數學問題是很難的，於是某些學者便說能解某題就有某某獎品。
有一個學者叫Stanislaw Mazur（他是Banach的學生），在1936年亦問了一個很難的問題，而獎品是……一隻生鵝……
一直到1972年，才有一個瑞典的數學家Per Enflo給出證明。Per Enflo到了Warsaw University講解他的證明，而後來，他帶了一隻生鵝回瑞典……
有相為證：http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Mazur.html
2008年5月2日 星期五
今年Pure Maths卷
今年Pure Maths Paper I，出了兩題被認為「唔standard」的題目。而這兩題的來源我雖然未敢確定，但即管在這裏估一估。
第一題涉及一個多項式（polynomial） p(x) 和一條關係式
，也給定了 
。嘗試一下iterate這條式，你應該會發現到：
一般來說就是對於整數的x，
。（下稱每項的power作n）如果將n=100改為1、2或者3，我相信很多有讀附加數學和純數學的人也會記得 p(x) 應該是甚麼吧。我猜這題的idea可能就是源於此。
查一查wikipedia，當n=100變成2、4、6時，p(x) 都會被 (2x+1) 除盡。而這題高考題目也証明了當 n=100 時，p(x) 也會被 (2x+1) 除盡。這時，你可能會猜當 n 為雙數時，p(x) 都能被 (2x+1) 整除。這是不是真呢？就靠你自己証明或舉出反例了。
另一題其大意應該是
的奇偶性。如果有玩過 HKMO 做過 past paper 的話，應該記得有類似以下這一題的題目吧：
求與
最接近的整數。
出卷之人是否借用 MO 的題目的概念，不得而知。
第一題涉及一個多項式（polynomial） p(x) 和一條關係式
，也給定了 。嘗試一下iterate這條式，你應該會發現到：一般來說就是對於整數的x，
。（下稱每項的power作n）如果將n=100改為1、2或者3，我相信很多有讀附加數學和純數學的人也會記得 p(x) 應該是甚麼吧。我猜這題的idea可能就是源於此。查一查wikipedia，當n=100變成2、4、6時，p(x) 都會被 (2x+1) 除盡。而這題高考題目也証明了當 n=100 時，p(x) 也會被 (2x+1) 除盡。這時，你可能會猜當 n 為雙數時，p(x) 都能被 (2x+1) 整除。這是不是真呢？就靠你自己証明或舉出反例了。
另一題其大意應該是
的奇偶性。如果有玩過 HKMO 做過 past paper 的話，應該記得有類似以下這一題的題目吧：求與
最接近的整數。出卷之人是否借用 MO 的題目的概念，不得而知。
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