錯誤

Wolfram Alpha 奇景一攝：



計算 log 8 / log 3 時，Wolfram Alpha 在預覽中顯示 1.98539...。大家都應該感覺到有問題，因為這個值不應該這麼接近 2。當我按下 Enter 後，得到的結果卻是 1.89278...。再輸入 log 8 / log 3，又在預覽中得到 1.98539...，於是出現了以上的奇景。

你是否已經想到 1.98539... 是怎麼來的？

順帶一提，這個 Wolfram Alpha 功能十分強勁，對於一般人來說，幾乎可以處理任何會遇到的數學問題，而且不用學習甚麼語法。大家不妨試試輸入「x^2-5x+7=0」、「minimise x^2+y^2-x subject to x+y=1」和「sum of factors of 2012」等來作試驗，甚至和數學無關的東西如「president of usa」和「weather today」也可以，很多你沒想過的東西它也能做到。

說回以上「謎題」。1.98539... 自然是 log (8 / log 3) 吧。這個問題是否有點似曾相識？我原意想計 (log 8) / (log 3)，系統把我輸入的「log 8 / log 3」視為 log (8 / log 3) 並不奇怪，然而為甚麼按 Enter 後，它卻會變回 (log 8) / (log 3)？這也真夠詭異。

小四題目被批太難

讀了台灣的一則當地新聞，一名家長因小孩的一道數學題難度過高而訴求於網絡世界，據說還有教授稱該題目很不人道雲雲，一齊看看吧。

--- A B 兩自然數作相乘，如果A十位的"1"看成"7"，結果多了 4140，把B十位的"6"看成"4"，結果少了2240。---

乍看好像不容易，也許會立刻想到要立方程解難。且慢，這是小學水平哦，不過細心想想也應該不難。筆者的意見：

1. 首先逐步拆解，也就前一半後一半來看，別想得太複雜，也別老想著一步完成。

2. 其次要對十位有一個良好概念，把"1"看成"7"，就應該想到A 這數字的十位多了"6"， 也就是總共多了"60"。

3. 再者就可以把乘法形象化，原本有一堆蘋果(A乘以B)或(B乘以A)，把A看成箱子，現在A多了60箱，總共多了 4140個蘋果。

4. 用除法4140/60求得一箱有多少蘋果，即B。同樣想法做後半，得A。

不錯，你也許心裡想著，小學生哪容易記得住這些數學概念。

最後，究竟小學幾年呢？還是要開估的，答案：小四。

筆者已經憶不起小四的我數學是到哪個程度了，所以也無法假裝客觀地評論這題目的水平適不適合，留給大家看看想想好了。

來源：http://www.ttv.com.tw/100/10/1001024/10010244932908L.htm

最難的數獨

最近看到一篇文章，關於「全球最難的數獨」。該數獨遊戲其中 23 格是給定的，而且只有唯一答案。

不過我卻不太明白，憑甚麼認為這是「全球最難」呢？第一，就我所知，存在一個只給定 17 格且有唯一解的數獨。第二，除了一些極端例子外，一個數獨問題的難度跟它給定的格數和解的數目其實沒有明顯關係。

要量化一個數獨問題的難度我想是可以的，這裡談談我一個粗略的想法：先數數有多少格是可以經過「一層推理」得出答案（例如：由於同一橫行已有 1、2、3，同一直行已有 4、5、6，同一 3x3 大方格已有 7、8，所以這格必定是 9），再數數有多少格可以經過「兩層推理」得出答案（例如：經過第一層推理得知這格只能是 8 或 9，如果是 8 的話，那麼 xxxxxxx，所以出現矛盾，因此這格必定是 9），如此類推。

至於上文的那個數獨問題，我沒有試做過（由於推理方式變化不多，個人並不特別喜歡解這類問題），但驟眼看下去似乎也看不出為甚麼它是「全球最難」的。大家有興趣挑戰一下嗎？

Quadratic Formula by IRS

不知道在香港的人能否get the point，但若在美國工作過一年而又懂一點high school數學的話應該會覺得好正。

http://www.cs.amherst.edu/~djv/irs.pdf

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MD Academic Seminar

數學資料庫於七月舉行的 academic seminar 的詳情如下：

日期：2011 年 7 月 10 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港中文大學 邵逸夫夫人樓 222 室 （ CUHK LSB 222 )
講者：梁嘉珮小姐（2010 年女子數學奧林匹克香港代表隊成員）
講題：補選？不補選？

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最近，社會就政府提出修改香港立法會的補選方法展開激辯。在講座中，我們會從數學和非數學角度分析不同的選舉制度，並嘗試找出各種選舉制度（尤其是本港立法會地區直選現行的比例代表制）下最理想的補選方法。

Recently, there has been much controversy over a proposed change to the by-election system of the Legislative Council of Hong Kong. In this seminar, we shall take a look at some mathematical and non-mathematical issues of electoral systems, and try to explore the best by-election system under different electoral systems, especially for proportional representation, the system currently used in the geographical constituencies in the Legislative Council of Hong Kong.

指數問題一則

在香港高級程度會考的純粹數學科中，卷二的乙部第一題一般是曲線描繪（curve sketching）。要描繪其圖像的函數間中會牽涉「非整數次方」，例如 x^3/4。當 x 是負數時，這會引起很多問題（但描繪曲線時我們確實需要考慮 x 是負數時的情況）。舉例說，(-8)^2/6 等於多少？

甲同學：怎麼考評局這麼不小心啦， 是可以約簡成 的啊，所以 (-8)^2/6 = (-8)^1/3，即 -8 的立方根，也就是 -2 啦。

乙同學：(-8)^2/6 即 (-8)^1/6 的 2 次方，可是 (-8)^1/6 即 -8 開 6 次方，這是不可能的，因為任何實數的偶數次方都不可能是負數啊，所以它不是實數。

丙同學：我不同意乙同學的看法。我看過數學資料庫手記的一篇文章，裡面提到處理實數的過程中是有可能離開實數世界的，所以沒有問題啦，(-8)^1/6 應該等於 （大家不妨驗證一下， 的 6 次方的確等於 -8 啊），所以 (-8)^2/6 應該等於 的 2 次方，也就是 -2 啦，這跟甲同學的答案不謀而合。

丁同學：我們不是學過 的嗎？因此 呢。

到底誰的演繹才正確？

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首先，你可以說丁同學的說法是不穩妥的，因為他用到的那一條指數定律在 a>0 時才成立（數學書是這樣寫的）。

那麼乙同學的說法也同樣有問題了，他不是用到 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律嗎？這也需要 a>0 的啊（數學書也是這樣寫的）！

丙同學也用了 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律，而且對於 (-8)^1/6 的值的「驗證」也是不穩妥的（例如，(-2)⁶ = 64，那我可以說 64^1/6 = -2 嗎？）。

甲同學呢？他說 (-8)^1/3 即 -8 的立方根，「a^1/n 即 a 的 n 次方根」這句說話究竟對 a<0 是否成立？這個有點複雜，因為這牽涉兩個定義，就是「a^1/n」和「a 的 n 次方根」。這個姑且不談，(-8)^2/6 一定要等於 (-8)^1/3 的嗎？（如果 x=y，那麼 a^x 一定要等於 a^y 的嗎？我們知道，如果 f 是函數，那麼當 x=y 時，必定有 f(x)=f(y)，可是 f(x) = a^x 是函數嗎？對 a 的值有任何要求嗎？）

看到這裡，大家也許都感到天旋地轉了。我說了這麼多，究竟哪一個才是正確的答案？

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我的結論很簡單：哪個是正確答案視乎你如何定義。而就我所知，最常見的定義方法是不對負數的非整數次方下定義，即 (-8)^1/3 等都是「未下定義」（undefined）的（但這顯然跟公開試所採納的不同）。

如果你懂得複對數（complex logarithm）或類似課題的話，會較容易明白不同定義各自的「好與壞」，但對中學生來說，不對負數的非整數次方下定義，不是最自然和合理的選擇嗎？