約定俗成

有朋友問，48 ÷ 2 (9+3) 等於多少？話說用計算機的話，有些計算機得出 2，有些得出 288，原因自然是 48 ÷ [2(9+3)] 和 48 ÷ 2 x (9+3) 的分別。那麼，到底那一個才是正確答案？

我的看法是兩個演譯都不能說錯。

如果我一看到這個算式，我會認為是 48 ÷ [2(9+3)] = 2。但如果你考慮到 2(9+3) 的定義的話，它的確是等於 2×(9+3)，即 2(9+3) 和 2×(9+3) 是完全相同的。

所以問題的關鍵是 2(9+3) 應否被視為 (2x(9+3)) 而非 2x(9+3)。由於高等數學裡很少用到乘號和除號，因此這個似乎沒有嚴格定義（也許有但我不知道吧），於是這件事變得有點約定俗成。

在 「習俗」上，我想很多人都會同意「不寫出來的乘號」的運算次序應該比「除號」為高，所以 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ [2(9+3)] = 2 至少在「常理」上是正確的。但就我所知，數學上的確沒有這個規定，因此如果認為 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ 2 x (9+3) = 288 的話，我也找不到任何理由認為有錯。

故此我的結論是 48 ÷ 2 (9+3) 這種寫法不好，還是用分數或加個括號避免混淆吧。

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題外話一：

語意上出現混淆（ambiguity）並不罕見，除了在數學外，中文和英文也有很多例子（數學也是一種語文）。例如：

「曼聯戰敗了阿仙奴獲得了冠軍」

• 曼聯戰敗了（輸了），阿仙奴獲得冠軍？
• 曼聯戰敗了阿仙奴（曼聯擊敗阿仙奴），所以曼聯獲得冠軍？

「Someone who knows Alan or Billy is here.」

• Someone who knows (one of Alan and Billy) is here?
• (Someone who knows Alan) or (Billy himself) is here?

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題外話二：

數學名詞雖然有嚴謹的定義，但「約定俗成」的例子其實也很多：

• ab² 是指 a(b²) 而非 (ab)²，但 cm² 卻是指 (cm)²，即 1 cm² = (0.01 m)² 而不是 0.01(m²)。
  　
  
• sin 2 a 是指 (sin 2) a 還是 sin(2a)？絕大多數人接受是 sin(2a)，但 sin a cos b 是指 (sin a)(cos b) 還是 sin (a cos b) 呢？絕大多數人會認為是 (sin a)(cos b)。兩者看來是有點矛盾的，但這是「俗成」了。