AM-GM 不等式的幾個證明（二）

上回給了 AM-GM 不等式的一個「無言證明」，但那只適用於 n=2 的情況。這次我們看一個完整的證明，方法是用「反向歸納法（backward induction）」。在 AM-GM 不等式的眾多證明中，這可說是最常見的一個。或者換個角度說會較為適合：在反向歸納法的眾多例子中，AM-GM 不等式是最常見的一個。

這裡先概述一下證明的方法。當 n=1 時，AM-GM 不等式顯然成立。當 n=2 時，我們也很容易證明 AM-GM 不等式成立，這是因為

而後者顯然正確。利用以上已證明的 n=2 結果（即兩個正數的算術平均大於或等於它們的幾何平均），我們有

從而 AM-GM 不等式對於 n=4 也成立（注意這裡兩次用到 n=2 時的結果）。由於以上不等式對任意四個正數 x₁、x₂、x₃、x₄ 成立，故特別地當 時也成立，從而有

這樣我們便從 n=4 的情況證明了 n=3 的情況！重覆以上的步驟，我們可以從 n=4 的情況推導出 n=8 的情況，再反向推導出 n=7、n=6 和 n=5 的情況，如此類推。這就是反向歸納法背後的理念。有興趣細讀詳情的話，可以參閱數學資料庫這份《數學歸納法》筆記中的 Theorem 3.5 和 Example 3.5。

證明 AM-GM 不等式還有很多其他方法，下回繼續。