數學資料庫手記

最佳內容獎及最具原創性獎:
理想樓宇的形狀

最佳演繹獎:
The Magic Totem

優異獎(共七個作品):
Mastering Bridge
五斗米龍戰隊之供求運輸優化
Reflective & Refractive Rays
計算尺(Slide Ruler)
The Evil Mathematicians
Probability, Opportunity, Possibility...
Which Floor Should You Park, Lifts?

以上得獎作品可按此觀看。

2012年5月12日星期六

第十一屆培正數學邀請賽決賽

中一組
中二組
中三組
中四組
高中組
答案

2012年2月27日星期一

不等式的疑惑

本屆初賽高中組其中一道題為：

Let k be a constant. It is given that for real number x , the minimum value of
x^2 - 5x + k is 2012. Find k.

A solution provided by one of the contestant:

x^2 - 5x + k >= 2012

(x - 5/2)^2 + k >= 2012 + 25/4

So, k >= 2018.25

k = 2019

官方答案的 k 為 2018.

大家看到問題在哪嗎？

提示：

A^2 + k >= C
k >= C - A^2

2012年2月4日星期六

第十一屆培正數學邀請賽

中一組
中二組
中三組
中四組
高中組
答案

2011年12月28日星期三

Wolfram Alpha 捉蟲記

之前說過 Wolfram Alpha 功能十分強勁，但偶爾也會出現一些問題。最近發現問題比想像中多，例如我嘗試輸入「ellipse with foci (1,0) and (-1,0) and passing through (2,1)」：

大家知道，給定兩個焦點和橢圓上的一點，便可把橢圓固定，可是 Wolfram Alpha 的結果卻指結果跟離心率（eccentricity）有關。再看真點，上圖的橢圓根本就不穿過 (2,1)……

是 Wolfram Alpha 看不明「foci」和「passing through」嗎？「Input interpretation」顯示它是看得懂的。再者，大家可以試試「circle with centre (1,0) and passing through (2,1)」，會得到正確的結果，所以這應該是一條真正的「蟲」吧。

最後，請有心人向 Wolfram Alpha 報告錯誤吧。

2011年11月26日星期六

四條青龍

外電報導，英國四名老人玩撲克牌時，每人獲發的 13 張牌都是「一條青龍」（即同一花式的 A、2、3、…、Q、K）。報導中提及，「數學家們稱出現這種情況的概率為 1/2235197406895366368301559999」。

報導是否屬實無從考究（即使屬實，不當的派牌方法也可以大大提升出現「四條青龍」的概率），但這個概率卻奇怪非常。分母的最後四位數字都是 9，未免太過巧合了吧？

懂得基本數算方法的讀者自然知道，計算分母的公式是

，而考慮 2 和 5 的因子的話，明顯可以看到這個數的個位數字應是 0。大家不妨用電腦計算一下（例如可以用上回提到的 Wolfram Alpha），這個數應是 2235197406895366368301560000，即比報導中的數大了 1。大家不妨競猜一下，2235197406895366368301559999 這個數是如何得出來的。

2011年11月19日星期六

錯誤

Wolfram Alpha 奇景一攝：

計算 log 8 / log 3 時，Wolfram Alpha 在預覽中顯示 1.98539...。大家都應該感覺到有問題，因為這個值不應該這麼接近 2。當我按下 Enter 後，得到的結果卻是 1.89278...。再輸入 log 8 / log 3，又在預覽中得到 1.98539...，於是出現了以上的奇景。

你是否已經想到 1.98539... 是怎麼來的？

順帶一提，這個 Wolfram Alpha 功能十分強勁，對於一般人來說，幾乎可以處理任何會遇到的數學問題，而且不用學習甚麼語法。大家不妨試試輸入「x^2-5x+7=0」、「minimise x^2+y^2-x subject to x+y=1」和「sum of factors of 2012」等來作試驗，甚至和數學無關的東西如「president of usa」和「weather today」也可以，很多你沒想過的東西它也能做到。

說回以上「謎題」。1.98539... 自然是 log (8 / log 3) 吧。這個問題是否有點似曾相識？我原意想計 (log 8) / (log 3)，系統把我輸入的「log 8 / log 3」視為 log (8 / log 3) 並不奇怪，然而為甚麼按 Enter 後，它卻會變回 (log 8) / (log 3)？這也真夠詭異。

2011年10月26日星期三

小四題目被批太難

讀了台灣的一則當地新聞，一名家長因小孩的一道數學題難度過高而訴求於網絡世界，據說還有教授稱該題目很不人道雲雲，一齊看看吧。

--- A B 兩自然數作相乘，如果A十位的"1"看成"7"，結果多了 4140，把B十位的"6"看成"4"，結果少了2240。---

乍看好像不容易，也許會立刻想到要立方程解難。且慢，這是小學水平哦，不過細心想想也應該不難。筆者的意見：

1. 首先逐步拆解，也就前一半後一半來看，別想得太複雜，也別老想著一步完成。

2. 其次要對十位有一個良好概念，把"1"看成"7"，就應該想到A 這數字的十位多了"6"，也就是總共多了"60"。

3. 再者就可以把乘法形象化，原本有一堆蘋果(A乘以B)或(B乘以A)，把A看成箱子，現在A多了60箱，總共多了 4140個蘋果。

4. 用除法4140/60求得一箱有多少蘋果，即B。同樣想法做後半，得A。

不錯，你也許心裡想著，小學生哪容易記得住這些數學概念。

最後，究竟小學幾年呢？還是要開估的，答案：小四。

筆者已經憶不起小四的我數學是到哪個程度了，所以也無法假裝客觀地評論這題目的水平適不適合，留給大家看看想想好了。

來源：http://www.ttv.com.tw/100/10/1001024/10010244932908L.htm

2011年9月29日星期四

最難的數獨

最近看到一篇文章，關於「全球最難的數獨」。該數獨遊戲其中 23 格是給定的，而且只有唯一答案。

不過我卻不太明白，憑甚麼認為這是「全球最難」呢？第一，就我所知，存在一個只給定 17 格且有唯一解的數獨。第二，除了一些極端例子外，一個數獨問題的難度跟它給定的格數和解的數目其實沒有明顯關係。

要量化一個數獨問題的難度我想是可以的，這裡談談我一個粗略的想法：先數數有多少格是可以經過「一層推理」得出答案（例如：由於同一橫行已有 1、2、3，同一直行已有 4、5、6，同一 3x3 大方格已有 7、8，所以這格必定是 9），再數數有多少格可以經過「兩層推理」得出答案（例如：經過第一層推理得知這格只能是 8 或 9，如果是 8 的話，那麼 xxxxxxx，所以出現矛盾，因此這格必定是 9），如此類推。

至於上文的那個數獨問題，我沒有試做過（由於推理方式變化不多，個人並不特別喜歡解這類問題），但驟眼看下去似乎也看不出為甚麼它是「全球最難」的。大家有興趣挑戰一下嗎？

2011年9月14日星期三

Quadratic Formula by IRS

不知道在香港的人能否get the point，但若在美國工作過一年而又懂一點high school數學的話應該會覺得好正。

http://www.cs.amherst.edu/~djv/irs.pdf

2011年8月12日星期五

MD招募廣告

數學資料庫現正招聘兼職行政助理及IT助理，有關詳情請參閱:

行政助理
IT助理

2011年7月3日星期日

MD Academic Seminar

數學資料庫於七月舉行的 academic seminar 的詳情如下：

日期：2011 年 7 月 10 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港中文大學邵逸夫夫人樓 222 室（ CUHK LSB 222 )
講者：梁嘉珮小姐（2010 年女子數學奧林匹克香港代表隊成員）
講題：補選？不補選？

=========================================

最近，社會就政府提出修改香港立法會的補選方法展開激辯。在講座中，我們會從數學和非數學角度分析不同的選舉制度，並嘗試找出各種選舉制度（尤其是本港立法會地區直選現行的比例代表制）下最理想的補選方法。

Recently, there has been much controversy over a proposed change to the by-election system of the Legislative Council of Hong Kong. In this seminar, we shall take a look at some mathematical and non-mathematical issues of electoral systems, and try to explore the best by-election system under different electoral systems, especially for proportional representation, the system currently used in the geographical constituencies in the Legislative Council of Hong Kong.

2011年6月9日星期四

指數問題一則

在香港高級程度會考的純粹數學科中，卷二的乙部第一題一般是曲線描繪（curve sketching）。要描繪其圖像的函數間中會牽涉「非整數次方」，例如 x^3/4。當 x 是負數時，這會引起很多問題（但描繪曲線時我們確實需要考慮 x 是負數時的情況）。舉例說，(-8)^2/6 等於多少？

甲同學：怎麼考評局這麼不小心啦，是可以約簡成的啊，所以 (-8)^2/6 = (-8)^1/3，即 -8 的立方根，也就是 -2 啦。

乙同學：(-8)^2/6 即 (-8)^1/6 的 2 次方，可是 (-8)^1/6 即 -8 開 6 次方，這是不可能的，因為任何實數的偶數次方都不可能是負數啊，所以它不是實數。

丙同學：我不同意乙同學的看法。我看過數學資料庫手記的一篇文章，裡面提到處理實數的過程中是有可能離開實數世界的，所以沒有問題啦，(-8)^1/6 應該等於（大家不妨驗證一下，的 6 次方的確等於 -8 啊），所以 (-8)^2/6 應該等於的 2 次方，也就是 -2 啦，這跟甲同學的答案不謀而合。

丁同學：我們不是學過的嗎？因此呢。

到底誰的演繹才正確？

首先，你可以說丁同學的說法是不穩妥的，因為他用到的那一條指數定律在 a>0 時才成立（數學書是這樣寫的）。

那麼乙同學的說法也同樣有問題了，他不是用到 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律嗎？這也需要 a>0 的啊（數學書也是這樣寫的）！

丙同學也用了 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律，而且對於 (-8)^1/6 的值的「驗證」也是不穩妥的（例如，(-2)⁶ = 64，那我可以說 64^1/6 = -2 嗎？）。

甲同學呢？他說 (-8)^1/3 即 -8 的立方根，「a^1/n 即 a 的 n 次方根」這句說話究竟對 a<0 是否成立？這個有點複雜，因為這牽涉兩個定義，就是「a^1/n」和「a 的 n 次方根」。這個姑且不談，(-8)^2/6 一定要等於 (-8)^1/3 的嗎？（如果 x=y，那麼 a^x 一定要等於 a^y 的嗎？我們知道，如果 f 是函數，那麼當 x=y 時，必定有 f(x)=f(y)，可是 f(x) = a^x 是函數嗎？對 a 的值有任何要求嗎？）

看到這裡，大家也許都感到天旋地轉了。我說了這麼多，究竟哪一個才是正確的答案？

我的結論很簡單：哪個是正確答案視乎你如何定義。而就我所知，最常見的定義方法是不對負數的非整數次方下定義，即 (-8)^1/3 等都是「未下定義」（undefined）的（但這顯然跟公開試所採納的不同）。

如果你懂得複對數（complex logarithm）或類似課題的話，會較容易明白不同定義各自的「好與壞」，但對中學生來說，不對負數的非整數次方下定義，不是最自然和合理的選擇嗎？

2011年5月25日星期三

捨去（rejected）

相信大家在中學課本中都會見過類似的題目：求方程

的所有實數解。

不難吧？兩邊取平方得 x² - 1 = 2x - 1，化簡可得 x(x-2) = 0，因此 x = 0 或 2。然而，由於解題過程中曾經兩邊取平方（註 1），因此我們應該把答案代入原方程驗算。

把 x=2 代入原方程，左右兩邊皆等於

，因此 x=2 是原方程的一個解。

把 x=0 代入原方程，左邊等於

，由於這不是實數，故捨去 x=0 這個解。

且慢！當 x=0 時，右邊也等於

，即左右兩邊相等（註 2）。題目所求的是實數解，並沒要求方程的兩邊都要是實數（註 3）。

在以往的香港中學會考數學科中，「複數」並不在課程內，因此對學生來說，

是「不存在」的，故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中，數學科課程包括「複數」的概念，我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎？

註：

(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋，但這不是正確，或至少不是完滿的解釋，至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。

(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」，我們取非負的平方根，例如

是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」，我們也會選一個「主值」（principal value，詳見這裡）。

(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見，例如我們可以利用複分析（complex analysis）的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分：

訂閱：文章 (Atom)

2019年1月26日 星期六

2018年2月3日 星期六

2014年2月22日 星期六

2013年4月2日 星期二

2013年3月23日 星期六

2013年1月19日 星期六

2012年5月29日 星期二

2012年5月12日 星期六

2012年2月27日 星期一

2012年2月4日 星期六

2011年12月28日 星期三

2011年11月26日 星期六

2011年11月19日 星期六

2011年10月26日 星期三

2011年9月29日 星期四

2011年9月14日 星期三

2011年8月12日 星期五

2011年7月3日 星期日

2011年6月9日 星期四

2011年5月25日 星期三

著作人

stat

網誌存檔

2019年1月26日星期六

2018年2月3日星期六

2014年2月22日星期六

2013年4月2日星期二

2013年3月23日星期六

2013年1月19日星期六

2012年5月29日星期二