Wolfram Alpha 捉蟲記

之前說過 Wolfram Alpha 功能十分強勁，但偶爾也會出現一些問題。最近發現問題比想像中多，例如我嘗試輸入「ellipse with foci (1,0) and (-1,0) and passing through (2,1)」：

大家知道，給定兩個焦點和橢圓上的一點，便可把橢圓固定，可是 Wolfram Alpha 的結果卻指結果跟離心率（eccentricity）有關。再看真點，上圖的橢圓根本就不穿過 (2,1)……

是 Wolfram Alpha 看不明「foci」和「passing through」嗎？「Input interpretation」顯示它是看得懂的。再者，大家可以試試「circle with centre (1,0) and passing through (2,1)」，會得到正確的結果，所以這應該是一條真正的「蟲」吧。

最後，請有心人向 Wolfram Alpha 報告錯誤吧。

四條青龍

外電報導，英國四名老人玩撲克牌時，每人獲發的 13 張牌都是「一條青龍」（即同一花式的 A、2、3、…、Q、K）。報導中提及，「數學家們稱出現這種情況的概率為 1/2235197406895366368301559999」。

報導是否屬實無從考究（即使屬實，不當的派牌方法也可以大大提升出現「四條青龍」的概率），但這個概率卻奇怪非常。分母的最後四位數字都是 9，未免太過巧合了吧？

懂得基本數算方法的讀者自然知道，計算分母的公式是 ，而考慮 2 和 5 的因子的話，明顯可以看到這個數的個位數字應是 0。大家不妨用電腦計算一下（例如可以用上回提到的 Wolfram Alpha），這個數應是 2235197406895366368301560000，即比報導中的數大了 1。大家不妨競猜一下，2235197406895366368301559999 這個數是如何得出來的。

錯誤

Wolfram Alpha 奇景一攝：



計算 log 8 / log 3 時，Wolfram Alpha 在預覽中顯示 1.98539...。大家都應該感覺到有問題，因為這個值不應該這麼接近 2。當我按下 Enter 後，得到的結果卻是 1.89278...。再輸入 log 8 / log 3，又在預覽中得到 1.98539...，於是出現了以上的奇景。

你是否已經想到 1.98539... 是怎麼來的？

順帶一提，這個 Wolfram Alpha 功能十分強勁，對於一般人來說，幾乎可以處理任何會遇到的數學問題，而且不用學習甚麼語法。大家不妨試試輸入「x^2-5x+7=0」、「minimise x^2+y^2-x subject to x+y=1」和「sum of factors of 2012」等來作試驗，甚至和數學無關的東西如「president of usa」和「weather today」也可以，很多你沒想過的東西它也能做到。

說回以上「謎題」。1.98539... 自然是 log (8 / log 3) 吧。這個問題是否有點似曾相識？我原意想計 (log 8) / (log 3)，系統把我輸入的「log 8 / log 3」視為 log (8 / log 3) 並不奇怪，然而為甚麼按 Enter 後，它卻會變回 (log 8) / (log 3)？這也真夠詭異。

小四題目被批太難

讀了台灣的一則當地新聞，一名家長因小孩的一道數學題難度過高而訴求於網絡世界，據說還有教授稱該題目很不人道雲雲，一齊看看吧。

--- A B 兩自然數作相乘，如果A十位的"1"看成"7"，結果多了 4140，把B十位的"6"看成"4"，結果少了2240。---

乍看好像不容易，也許會立刻想到要立方程解難。且慢，這是小學水平哦，不過細心想想也應該不難。筆者的意見：

1. 首先逐步拆解，也就前一半後一半來看，別想得太複雜，也別老想著一步完成。

2. 其次要對十位有一個良好概念，把"1"看成"7"，就應該想到A 這數字的十位多了"6"， 也就是總共多了"60"。

3. 再者就可以把乘法形象化，原本有一堆蘋果(A乘以B)或(B乘以A)，把A看成箱子，現在A多了60箱，總共多了 4140個蘋果。

4. 用除法4140/60求得一箱有多少蘋果，即B。同樣想法做後半，得A。

不錯，你也許心裡想著，小學生哪容易記得住這些數學概念。

最後，究竟小學幾年呢？還是要開估的，答案：小四。

筆者已經憶不起小四的我數學是到哪個程度了，所以也無法假裝客觀地評論這題目的水平適不適合，留給大家看看想想好了。

來源：http://www.ttv.com.tw/100/10/1001024/10010244932908L.htm

最難的數獨

最近看到一篇文章，關於「全球最難的數獨」。該數獨遊戲其中 23 格是給定的，而且只有唯一答案。

不過我卻不太明白，憑甚麼認為這是「全球最難」呢？第一，就我所知，存在一個只給定 17 格且有唯一解的數獨。第二，除了一些極端例子外，一個數獨問題的難度跟它給定的格數和解的數目其實沒有明顯關係。

要量化一個數獨問題的難度我想是可以的，這裡談談我一個粗略的想法：先數數有多少格是可以經過「一層推理」得出答案（例如：由於同一橫行已有 1、2、3，同一直行已有 4、5、6，同一 3x3 大方格已有 7、8，所以這格必定是 9），再數數有多少格可以經過「兩層推理」得出答案（例如：經過第一層推理得知這格只能是 8 或 9，如果是 8 的話，那麼 xxxxxxx，所以出現矛盾，因此這格必定是 9），如此類推。

至於上文的那個數獨問題，我沒有試做過（由於推理方式變化不多，個人並不特別喜歡解這類問題），但驟眼看下去似乎也看不出為甚麼它是「全球最難」的。大家有興趣挑戰一下嗎？

Quadratic Formula by IRS

不知道在香港的人能否get the point，但若在美國工作過一年而又懂一點high school數學的話應該會覺得好正。

http://www.cs.amherst.edu/~djv/irs.pdf

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