2008年2月29日 星期五

Ideal Map (Part 1)

How is a map which is a flat sheet of paper representing the actual curved surface of the Earth?

For example, how can we tell the distance between HK and Beijing from a world map? When we draw a line on the map joining HK and Beijing, what is the path that is traced on the globe? If 2 straight line segments have the same length on the map, must the 2 corresponding paths have the same length on the globe?

Actually, the above problems depend on how the map was created.

When we create a map of the globe (or some portion of the globe), we might want our map to possess some nice properties such as:

1. The map should be planar (or flat), so that it is more convenient for us to laid it down on a table and draw on it.
2. Any “straight line segment”* on the globe should correspond to a straight line segment on the planar map, so that it is easy for us to trace a shortest path between any 2 points (by using a ruler to draw a straight line segment on the map for instance).
3. The shape of any region on the globe is preserved on the map. For example, an equiangular triangle on the map should correspond to an equiangular triangle** on the globe.
4. The map has a fixed scale, which means the lengths of any 2 paths on the globe is decreased by the same factor on the corresponding paths on the map.

Here comes a problem which intrigued many Navigators and Mathematicians hundreds of years ago, and is central in Cartography.

Can we create a map which possesses one or more of the above attributes?

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* For simplicity, suppose the globe is a perfect sphere. We know that a sphere is curved, so what is a “straight line” on a sphere? Imagine we’re walking “straight” on large sphere, our path actually traces an arc of a great circle (which is a circle which has the same center as the sphere it is lying on). It can be proved, by undergraduate calculus, that a shortest path between 2 points on a sphere is the minor arc of a great circle. Hence, a “straight line segment” on a sphere is actually an arc of a great circle.

**A triangle on a sphere is a region on the sphere which is bounded by 3 straight lines (i.e. 3 arcs of great circles) on the sphere. An angle at a point P on the sphere formed by 2 great arcs meeting at P is the angle between the tangents of the 2 arcs at P.

2008年2月27日 星期三

A Quote

Suppose that there is a picnic consisting of many families and we want to count the number of families. One way would be to define some "canonical head" of each family, say "mother", and count the number of mothers. But some daughters look like mothers, so this is not so easy. On the other hand, you cannot just count everybody , since then you would count each family several times. The problem is that "naive" counting of people is giving a credit of 1 to each person, and this is inappropriate if we are trying to count families. If instead we were to ask each person "How big is your family?" and add to our count the reciprocal of that number, then the calculation would come out just right, since a family of size k would get a credit of 1/k for each of its members, and would therefore have been counted exactly once by the end.

Going back to counting orbits, we see by the same reasoning that their number is \sum_{a \in A} 1 / | Orbit(a) | ......

2008年2月19日 星期二

三角不等式

• 以三角不等式證明其他不等式，例如：若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則可證明
a2b(a-b) + b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ 0
• 對任意複數 z 和 w，我們有
|z+w| ≦ |z|+|w| 和 |z-w| ≧ ||z|-|w||
• 若 d(a,b) 表示兩個位數相同的整數 a 和 b 有多少個數字不同（例如：d(12,34)=2；d(12345,13446)=3 等等），則對任意三個位數相同的整數 x、y、z 皆有
d(x,y) ≦ d(x,z) + d(y,z)

d(尖沙咀,旺角) ≦ d(尖沙咀,紅磡) + d(紅磡,旺角)。

 車票種類 路線 1 路線 1 車費（港元） 路線 2 路線 2 車費（港元） 成人八達通 尖東 → 羅湖 34.8 尖東 → 上水上水 → 羅湖 10.8 + 18.8 = 29.6 學生八達通 馬鞍山 → 尖沙咀 10.4 馬鞍山 → 佐敦佐敦 → 尖沙咀 7.7 + 2.3 = 10.0 成人八達通 元朗 → 荃灣 15.9 元朗 → 荃灣西荃灣西 → 荃灣 10.7 + 3.6 = 14.3 學生八達通 屯門 → 落馬洲 44.8 屯門 → 粉嶺粉嶺 → 落馬洲 17.3 + 18.8 = 36.1 成人八達通 屯門泳池 → 濕地公園 5.8 屯門泳池 → 屯門屯門 → 兆康兆康 → 濕地公園 0.0* + 3.7 + 0.0* = 3.7
* 輕鐵與西鐵線之轉乘優惠

2008年2月13日 星期三

Elementary Proof of "Sum Of Reciprocals Of All Primes Are Divergent"

1 / p1 + 1 / p2 + 1 / p3 + ...也是divergent的。這並不明顯，因為質數比整數疏得多，也就是說 1 / p1 + 1 / p2 + 1 / p3 + ... 比 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 少了很多項。現在寫出證明於PDF檔內（英文）。

2008年2月10日 星期日

車公廟求籤

鼠年伊始，謹在此祝賀大家新年進步，心想事成！

自 1998 年起，政府或鄉議局總會派代表在大年初二到車公廟為香港求籤。兩天前的大年初二，鄉議局主席劉皇發求籤時，《明報》記者從相片發現籤筒裏的籤數不足全數 96 枝。今天《明報》報道他們再到過車公廟抽樣檢查了 8 個籤筒，發現只有一半完全準確（即齊備 96 枝不同的籤），而其他 4 個有缺漏或重覆。究竟籤筒裏的竹籤「不合規格」，會否影響求籤時得到各枝籤的概率呢？

如果籤筒經過刻意的處理，例如取走所有下籤和中籤，概率顯然受影響。但如果缺漏或重覆純粹因為善信取走他們求得的籤，又或不慎把求得籤放在其他籤筒裏呢？原來只要原來的籤筒符合規格，這兩件事都不會影響求得各枝籤的概率！

我不打算在此寫出嚴謹的證明，只想提出證明的重點，餘下部分讓讀者填空。假設某符合規格的籤筒不慎被先來的善信取走了一枝籤。如果取走了的籤是 1、2、3、……、94 或 95 號（概率為 95/96），後來的善信求籤時，因為籤筒只餘 95 枝籤，所以求得 96 號的概率會由原來的 1/96 升至 1/95。反之，如果取走了的籤是 96 號（概率為 1/96），再求得 96 號籤的概率明顯是 0。因此，後來的善信求得 96 號籤的機會是 95/96 × 1/95 + 1/96 × 0 = 1/96，與從合格的籤筒求籤的概率相同。

由上述的例子可知，隨機抽走一枝籤不會影響求籤的概率。我們同理可證隨機多放一枝籤亦不影響求籤。更有趣的是，只要小心運用數學歸納法，不難發現只要原來的籤筒符合規格，而取走或多放籤的過程都是隨機的，籤筒裏籤的分佈根本與求得各籤的概率無關。換言之，即使籤筒裏只有一枝籤也沒問題！

如果你相信沒有人刻意改變籤筒的籤，下次到車公廟求籤時，便不用計較籤筒裏的籤數多了或少了。

順道賣廣告。如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！

2008年2月8日 星期五

從「0」開始

(1)　0 是 5 的倍數
(2)　5 是 0 的倍數
(3)　0 是 5 的因數
(4)　5 是 0 的因數
(5)　0 可被 5 整除
(6)　5 可被 0 整除

(1)　正確（5 的 0 倍是 0）
(2)　錯誤（0 乘以任何整數都不等於 5）
(3)　錯誤（跟第 2 題相同）
(4)　正確（跟第 3 題相同）
(5)　正確（跟第 3 題相同）
(6)　錯誤（跟第 2 題相同）

2008年2月2日 星期六

佢未必係生果讀者！

「佢梗係生果讀者」的意思就是基於廣告描述他是一個高收入人士，故他是生果報的讀者的機會率是1。當然，心水清的朋友已經意會到這是誇張，因為生果報在高收入人士中的市場佔有率根本就不是100%。