2010年3月31日 星期三

一道概率問題(上)

在中學教科書中,概率(probability)的定義一般是這樣寫的:

           符合E的結果的數目
  事件E的概率 = ---------
            可能結果的總數

在高等數學中,概率的定義要複雜得多,因此在中學教科書中有一個「簡易版」實在可以理解。然而,以上版本卻未免太簡易了,很容易「鬧出笑話」,例如:六合彩頭獎的中獎機會是多少?由於可能結果有兩個(「中」或「不中」),那麼機會應該是 1/2 吧?另一個人說:非也,六合彩有頭獎至七獎,也可能不中獎,所以頭獎的中獎機會應是 1/8 才對。

這當然是不正確的。錯誤在那裡呢?在數算「可能結果的總數」時,我們必須確保每個可能結果都是「出現機會均等」的,而在以上例子中,「中」與「不中」顯然不是機會均等的,因此我們不能說可能結果有兩個。

投擲兩顆骰子,總數是 11 點的概率是多少?這個不難,可能的結果有 6x6 = 36 個,符合條件的結果有 (5,6) 和 (6,5) 兩個,因此答案是 2/36 = 1/18 吧。為甚麼 (5,6) 和 (6,5) 應算作兩個不同的結果?(同樣道理,在數算可能結果的總數時,(1,2) 和 (2,1) 等也是數了兩次,因此才得出 36 這個數的。)那正正就是因為要確保每個可能結果的「出現機會均等」-- 如果 (5,6) 和 (6,5) 只算一次,而 (1,1) 也算一次的話,那麼 {5,6} 出現的機會是比 (1,1) 高的。

值得注意,(5,6) 和 (6,5) 應該算是一個可能結果還是兩個,跟兩顆骰子是否相同(identical or distinguishable)是無關的。而「出現機會均等」這條件的重要性,我們在下回將以一道培正數學邀請賽的題目作說明。