2009年10月23日 星期五

數學講座

日期:2009 年 11 月 20 日(星期五)
時間:下午 6 時 30 分至 8 時 30 分
地點:香港城市大學教學樓四樓 LT18 演講廳
講者:曾淵滄博士
講題:投資全攻略

簡介:
本講座旨在從科學角度與重點介紹甚麼是管理科學,亦討論管理科學如何在投資及財務應用方面所扮演之角色。本講座亦專為有志參加快張開辦的統計學課程而設。

有關其他詳情及報名方法,可瀏覽這裡
(如果無法載入,可複製網址 http://hkage.org.hk/b5/new/Students/ma/0910003/poster.pdf)

2009年10月19日 星期一

死後的paper?

前兩天聽了一個關於random graph的seminar,回到辦公室就拿起Janson, Luczak和Rucinski的Random Graphs查一些terms的意思。隨手一揭,見到Erdős, Suen和Winkler在1995年一起出了一份paper。當時我想如果這是Paul Erdős的話,他不是已經離世很久了嗎?但查一查wiki,才知道他是在1996年離世的。

但另外查一查DBLP,竟發現Paul Erdős直到2006年為止仍然有聯名的paper發。究竟是因為其他的作者在十多年前和他討論得出成果,所以將Paul Erdős的名字寫在作者欄上,還是這個世界上有另一個Paul Erdos呢?煩請有識之士指點迷津。

2009年10月14日 星期三

AM-GM 不等式的幾個證明(六)

看見 Kahoo 給了 AM-GM 不等式這麼多個精彩的證明,不禁想再來一個用微分和凸函数 (convex functions) 的。

這裏我們只需留意對任意實數 xa



這不等式可以用很多不同的方法來證明,其中要想清楚當中的概念的,比較好的方法,是留意 是一凸函數,故其導數是遞增的,用中值定理即可推出上述不等式。(也可以不失一般性假設,從而用一元微積分或 的 Taylor 展開求得此不等式。)

有了這不等式以後,對正數



這裏 a 可以是任何實數。把上列的不等式平均起來,得到

------(1)

,則



從而 AM-GM 不等式得證。事實上不等式 (1) 的右邊是一關於 a 的函數,左邊則跟 a 無關,所以我們會取的 a 使得 (1) 的右邊達至最大值,而這正是我們上面這樣取 a 的原因。

這證明的一個好處,是我們可以用同樣的辦法證明以下這個 AM-GM 不等式的推廣:對任意 ,和任意正數 使得 ,有



從上面的討論可知,其實 AM-GM 不等式是函數 的 convexity 的反映。對任何的凸函數 f,我們都有 Jensen 不等式,詳見 wikipedia

2009年10月11日 星期日

AM-GM 不等式的幾個證明(五)

作為本系列的完結篇,我們看看 AM-GM 不等式的一個不用數學歸納法的證明。本證明主要用到排序不等式,此不等式指出若 ,那麼當我們把這些 ai 和 bi「配對相乘再相加」時,有以下不等式:


這裡 f(1)、f(2)、…、f(n) 是 1, 2, ..., n 的一個任意排列,而以上不等式中的三行分別叫「逆序和」、「亂序和」和「順序和」。不等式看起來有點複雜,但其實背後意念很簡單:假設一批學生分 n 組比賽(人數分別是 a1、a2、…、an),而每組均選擇 n 種隊服中的一種(價錢分別是 b1、b2、…、bn),那麼最省錢的自然是越多人的組別使用越便宜的隊服(即逆序和),最花錢的自然是越多人的組別使用越貴的隊服(即順序和)。利用排序不等式,不難證明對任意正數 y1、y2、…、yn 皆有


(不失一般性設 ,並設 ,再使用「亂序和 ≧ 逆序和」即可)。



現在我們用以上結果來證明 AM-GM 不等式。不妨設 x1x2…xn = 1(這可通過代換 得到),並設

即可得

從而證明了 AM-GM 不等式。



順帶一提,排序不等式的等號成立當且僅當 ,大家不妨試試由此導出 AM-GM 不等式的等號成立當且僅當

2009年10月6日 星期二

Gil Kalai's Seminar

上週四Hebrew University of Jerusalem和Yale University教授Gil Kalai來了Courant Institute講seminar。大家可能對這個名字有點印象,因為我曾在一篇手記 "Test Your Intuition"中提及他的網誌"Combinatorics and More"

平時同一時段的"theory seminar",有多於15人已屬罕見,但今次Prof. Kalai來講seminar卻吸引了38人來。平時有空位剩的房間一下子全院滿座,還有幾個人坐地下聽。

Prof. Kalai講了三個猜想,其中一個比較易懂和有趣,可以在這裏講講。

。我們可以進行一個"Fourier Transform",即寫成,當中(這與一般Fourier Series中的的角色相同。)假設,若每一個均獨立地有機會率 t 改變值(即由-1變成1或由1變成-1),若的機會很高,我們就可說 f 是noise stable。

甚麼情況下 f 是noise stable呢?Prof. Kalai舉了一個有趣的例子,就是說美國總統選舉,若Obama得票的數目是單數他就當選,否則McCain當選,這個選舉就很"noisy",對吧?由此例子見到,noise stable的函數,它的Fourier expansion中,當S是一個較大的集合時,的值就應該很小。

2009年10月5日 星期一

數學講座

日期:2009 年 11 月 6 日(星期五)
時間:下午 6 時 30 分至 8 時
地點:九龍塘教育服務中心西座四樓演講廳
講者:蕭文強教授
講題:難「分」難「解」的數學
簡介:

日常生活中不時碰到分配問題,例如工作時分配人手、得到獎賞後分配獎品、各選區分配議席、眾人分配美食等等。易乎?難乎?單單懂得除數是否就足夠呢?在這個講座讓我們一起探索一些有趣的例子。

有關其他詳情及報名方法,可瀏覽這裡
(如果無法載入,可複製網址 http://hkage.org.hk/b5/new/Students/ma/091106mkma/poster_b5.pdf)

2009年10月1日 星期四

AM-GM 不等式的幾個證明(四)

上回看過 AM-GM 不等式的一個「普通數學歸納法」證明。這裡我們再看三個類似的證明。一如之前,設 xi 為正數,並已知 AM-GM 不等式對 n=1 和 n=2 成立。

假設 n=k 時 AM-GM 不等式成立,並考慮 n=k+1 時的情況。如果 ,則 AM-GM 不等式顯然成立,否則不妨設各數中 x1 最小,xk+1 最大,那麼這 k+1 個數的平均(不論是算術平均或是幾何平均)均大於 x1 而小於 xk+1。以下用三個方法證明 n=k+1 的情況。



方法一

。由歸納假設可知



從而 ,其中最後一個不等式成立是因為





方法二

,則 ,故此




方法三





除了用數學歸納法外,AM-GM 不等式還可以用其他方法來證明,我們下回再看。