2011年12月28日 星期三

Wolfram Alpha 捉蟲記

之前說過 Wolfram Alpha 功能十分強勁,但偶爾也會出現一些問題。最近發現問題比想像中多,例如我嘗試輸入「ellipse with foci (1,0) and (-1,0) and passing through (2,1)」:





大家知道,給定兩個焦點和橢圓上的一點,便可把橢圓固定,可是 Wolfram Alpha 的結果卻指結果跟離心率(eccentricity)有關。再看真點,上圖的橢圓根本就不穿過 (2,1)……

是 Wolfram Alpha 看不明「foci」和「passing through」嗎?「Input interpretation」顯示它是看得懂的。再者,大家可以試試「circle with centre (1,0) and passing through (2,1)」,會得到正確的結果,所以這應該是一條真正的「蟲」吧。

最後,請有心人向 Wolfram Alpha 報告錯誤吧。

2011年11月26日 星期六

四條青龍

外電報導,英國四名老人玩撲克牌時,每人獲發的 13 張牌都是「一條青龍」(即同一花式的 A、2、3、…、Q、K)。報導中提及,「數學家們稱出現這種情況的概率為 1/2235197406895366368301559999」。

報導是否屬實無從考究(即使屬實,不當的派牌方法也可以大大提升出現「四條青龍」的概率),但這個概率卻奇怪非常。分母的最後四位數字都是 9,未免太過巧合了吧?

懂得基本數算方法的讀者自然知道,計算分母的公式是 ,而考慮 2 和 5 的因子的話,明顯可以看到這個數的個位數字應是 0。大家不妨用電腦計算一下(例如可以用上回提到的 Wolfram Alpha),這個數應是 2235197406895366368301560000,即比報導中的數大了 1。大家不妨競猜一下,2235197406895366368301559999 這個數是如何得出來的。

2011年11月19日 星期六

錯誤

Wolfram Alpha 奇景一攝:



計算 log 8 / log 3 時,Wolfram Alpha 在預覽中顯示 1.98539...。大家都應該感覺到有問題,因為這個值不應該這麼接近 2。當我按下 Enter 後,得到的結果卻是 1.89278...。再輸入 log 8 / log 3,又在預覽中得到 1.98539...,於是出現了以上的奇景。

你是否已經想到 1.98539... 是怎麼來的?

順帶一提,這個 Wolfram Alpha 功能十分強勁,對於一般人來說,幾乎可以處理任何會遇到的數學問題,而且不用學習甚麼語法。大家不妨試試輸入「x^2-5x+7=0」、「minimise x^2+y^2-x subject to x+y=1」和「sum of factors of 2012」等來作試驗,甚至和數學無關的東西如「president of usa」和「weather today」也可以,很多你沒想過的東西它也能做到。

說回以上「謎題」。1.98539... 自然是 log (8 / log 3) 吧。這個問題是否有點似曾相識?我原意想計 (log 8) / (log 3),系統把我輸入的「log 8 / log 3」視為 log (8 / log 3) 並不奇怪,然而為甚麼按 Enter 後,它卻會變回 (log 8) / (log 3)?這也真夠詭異。

2011年10月26日 星期三

小四題目被批太難

讀了台灣的一則當地新聞,一名家長因小孩的一道數學題難度過高而訴求於網絡世界,據說還有教授稱該題目很不人道雲雲,一齊看看吧。

--- A B 兩自然數作相乘,如果A十位的"1"看成"7",結果多了 4140,把B十位的"6"看成"4",結果少了2240。---

乍看好像不容易,也許會立刻想到要立方程解難。且慢,這是小學水平哦,不過細心想想也應該不難。筆者的意見:

1. 首先逐步拆解,也就前一半後一半來看,別想得太複雜,也別老想著一步完成。

2. 其次要對十位有一個良好概念,把"1"看成"7",就應該想到A 這數字的十位多了"6", 也就是總共多了"60"。

3. 再者就可以把乘法形象化,原本有一堆蘋果(A乘以B)或(B乘以A),把A看成箱子,現在A多了60箱,總共多了 4140個蘋果。

4. 用除法4140/60求得一箱有多少蘋果,即B。同樣想法做後半,得A。

不錯,你也許心裡想著,小學生哪容易記得住這些數學概念。

最後,究竟小學幾年呢?還是要開估的,答案:小四。

筆者已經憶不起小四的我數學是到哪個程度了,所以也無法假裝客觀地評論這題目的水平適不適合,留給大家看看想想好了。

來源:http://www.ttv.com.tw/100/10/1001024/10010244932908L.htm

2011年9月29日 星期四

最難的數獨

最近看到一篇文章,關於「全球最難的數獨」。該數獨遊戲其中 23 格是給定的,而且只有唯一答案。

不過我卻不太明白,憑甚麼認為這是「全球最難」呢?第一,就我所知,存在一個只給定 17 格且有唯一解的數獨。第二,除了一些極端例子外,一個數獨問題的難度跟它給定的格數和解的數目其實沒有明顯關係。

要量化一個數獨問題的難度我想是可以的,這裡談談我一個粗略的想法:先數數有多少格是可以經過「一層推理」得出答案(例如:由於同一橫行已有 1、2、3,同一直行已有 4、5、6,同一 3x3 大方格已有 7、8,所以這格必定是 9),再數數有多少格可以經過「兩層推理」得出答案(例如:經過第一層推理得知這格只能是 8 或 9,如果是 8 的話,那麼 xxxxxxx,所以出現矛盾,因此這格必定是 9),如此類推。

至於上文的那個數獨問題,我沒有試做過(由於推理方式變化不多,個人並不特別喜歡解這類問題),但驟眼看下去似乎也看不出為甚麼它是「全球最難」的。大家有興趣挑戰一下嗎?

2011年9月14日 星期三

Quadratic Formula by IRS

不知道在香港的人能否get the point,但若在美國工作過一年而又懂一點high school數學的話應該會覺得好正。

2011年8月12日 星期五

MD招募廣告

數學資料庫現正招聘兼職行政助理及IT助理,有關詳情請參閱:

行政助理
IT助理

2011年7月3日 星期日

MD Academic Seminar

數學資料庫於七月舉行的 academic seminar 的詳情如下:

日期:2011 年 7 月 10 日(星期日)
時間:下午 4 時 30 分至 6 時
地點:香港中文大學 邵逸夫夫人樓 222 室 ( CUHK LSB 222 )
講者:梁嘉珮小姐(2010 年女子數學奧林匹克香港代表隊成員)
講題:補選?不補選?

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最近,社會就政府提出修改香港立法會的補選方法展開激辯。在講座中,我們會從數學和非數學角度分析不同的選舉制度,並嘗試找出各種選舉制度(尤其是本港立法會地區直選現行的比例代表制)下最理想的補選方法。

Recently, there has been much controversy over a proposed change to the by-election system of the Legislative Council of Hong Kong. In this seminar, we shall take a look at some mathematical and non-mathematical issues of electoral systems, and try to explore the best by-election system under different electoral systems, especially for proportional representation, the system currently used in the geographical constituencies in the Legislative Council of Hong Kong.

2011年6月9日 星期四

指數問題一則

在香港高級程度會考的純粹數學科中,卷二的乙部第一題一般是曲線描繪(curve sketching)。要描繪其圖像的函數間中會牽涉「非整數次方」,例如 x3/4。當 x 是負數時,這會引起很多問題(但描繪曲線時我們確實需要考慮 x 是負數時的情況)。舉例說,(-8)2/6 等於多少?

同學:怎麼考評局這麼不小心啦, 是可以約簡成 的啊,所以 (-8)2/6 = (-8)1/3,即 -8 的立方根,也就是 -2 啦。

乙同學:(-8)2/6(-8)1/6 的 2 次方,可是 (-8)1/6 即 -8 開 6 次方,這是不可能的,因為任何實數的偶數次方都不可能是負數啊,所以它不是實數

同學:我不同意乙同學的看法。我看過數學資料庫手記的一篇文章,裡面提到處理實數的過程中是有可能離開實數世界的,所以沒有問題啦,(-8)1/6 應該等於 (大家不妨驗證一下, 的 6 次方的確等於 -8 啊),所以 (-8)2/6 應該等於 的 2 次方,也就是 -2 啦,這跟甲同學的答案不謀而合。

丁同學:我們不是學過 的嗎?因此 呢。

到底誰的演繹才正確?


首先,你可以說丁同學的說法是不穩妥的,因為他用到的那一條指數定律在 a>0 時才成立(數學書是這樣寫的)。

那麼乙同學的說法也同樣有問題了,他不是用到 amn = (am)n 這條指數定律嗎?這也需要 a>0 的啊(數學書也是這樣寫的)!

丙同學也用了 amn = (am)n 這條指數定律,而且對於 (-8)1/6 的值的「驗證」也是不穩妥的(例如,(-2)6 = 64,那我可以說 641/6 = -2 嗎?)。

甲同學呢?他說 (-8)1/3 即 -8 的立方根,「a1/n 即 a 的 n 次方根」這句說話究竟對 a<0 是否成立?這個有點複雜,因為這牽涉兩個定義,就是「a1/n」和「a 的 n 次方根」。這個姑且不談,(-8)2/6 一定要等於 (-8)1/3 的嗎?(如果 x=y,那麼 ax 一定要等於 ay 的嗎?我們知道,如果 f 是函數,那麼當 x=y 時,必定有 f(x)=f(y),可是 f(x) = ax 是函數嗎?對 a 的值有任何要求嗎?)

看到這裡,大家也許都感到天旋地轉了。我說了這麼多,究竟哪一個才是正確的答案?


我的結論很簡單:哪個是正確答案視乎你如何定義。而就我所知,最常見的定義方法是不對負數的非整數次方下定義,即 (-8)1/3 等都是「未下定義」(undefined)的(但這顯然跟公開試所採納的不同)。

如果你懂得複對數(complex logarithm)或類似課題的話,會較容易明白不同定義各自的「好與壞」,但對中學生來說,不對負數的非整數次方下定義,不是最自然和合理的選擇嗎?

2011年5月25日 星期三

捨去(rejected)

相信大家在中學課本中都會見過類似的題目:求方程 的所有實數解。

不難吧?兩邊取平方得 x2 - 1 = 2x - 1,化簡可得 x(x-2) = 0,因此 x = 0 或 2。然而,由於解題過程中曾經兩邊取平方(註 1),因此我們應該把答案代入原方程驗算。

把 x=2 代入原方程,左右兩邊皆等於 ,因此 x=2 是原方程的一個解。

把 x=0 代入原方程,左邊等於 ,由於這不是實數,故捨去 x=0 這個解。

且慢!當 x=0 時,右邊也等於 ,即左右兩邊相等(註 2)。題目所求的是實數解,並沒要求方程的兩邊都要是實數(註 3)。

在以往的香港中學會考數學科中,「複數」並不在課程內,因此對學生來說, 是「不存在」的,故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中,數學科課程包括「複數」的概念,我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎?



註:

(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋,但這不是正確,或至少不是完滿的解釋,至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。

(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」,我們取非負的平方根,例如 是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」,我們也會選一個「主值」(principal value,詳見這裡)。

(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見,例如我們可以利用複分析(complex analysis)的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分:


2011年5月15日 星期日

EPYMT2011

The Department of Mathematics, CUHK is offering 4 courses of a summer outreach programme "Enrichment Programme for Young Mathematics Talents" (EPYMT), for secondary school students. These courses include:

Geometric Perspectives of Complex Numbers (suits F.3-F.4 students) and
Understanding Non-Euclidean Geometry (suits F.6-F.7 students).

Junior form students who perform particularly well in mathematics may also be admitted. The students who join the course(s) of EPYMT can learn advanced mathematics during summer and get well equipped for New Senior Secondary Mathematics Curriculum. Besides, admitted students may also get admission consideration and/or two credits at CUHK.

All of the courses will be held at CUHK campus and be taught by the professors or lecturers of our department.

Online Registration and deadline: Midnight 18 May, 2011
Admission Screening Test: 21 May, 2011
Please kindly visit here for the details of each course.

2011年4月12日 星期二

約定俗成

有朋友問,48 ÷ 2 (9+3) 等於多少?話說用計算機的話,有些計算機得出 2,有些得出 288,原因自然是 48 ÷ [2(9+3)] 和 48 ÷ 2 x (9+3) 的分別。那麼,到底那一個才是正確答案?

我的看法是兩個演譯都不能說錯。

如果我一看到這個算式,我會認為是 48 ÷ [2(9+3)] = 2。但如果你考慮到 2(9+3) 的定義的話,它的確是等於 2×(9+3),即 2(9+3) 和 2×(9+3) 是完全相同的。

所以問題的關鍵是 2(9+3) 應否被視為 (2x(9+3)) 而非 2x(9+3)。由於高等數學裡很少用到乘號和除號,因此這個似乎沒有嚴格定義(也許有但我不知道吧),於是這件事變得有點約定俗成。

在 「習俗」上,我想很多人都會同意「不寫出來的乘號」的運算次序應該比「除號」為高,所以 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ [2(9+3)] = 2 至少在「常理」上是正確的。但就我所知,數學上的確沒有這個規定,因此如果認為 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ 2 x (9+3) = 288 的話,我也找不到任何理由認為有錯。

故此我的結論是 48 ÷ 2 (9+3) 這種寫法不好,還是用分數或加個括號避免混淆吧。



題外話一:

語意上出現混淆(ambiguity)並不罕見,除了在數學外,中文和英文也有很多例子(數學也是一種語文)。例如:

「曼聯戰敗了阿仙奴獲得了冠軍」
  • 曼聯戰敗了(輸了),阿仙奴獲得冠軍?
  • 曼聯戰敗了阿仙奴(曼聯擊敗阿仙奴),所以曼聯獲得冠軍?
「Someone who knows Alan or Billy is here.」
  • Someone who knows (one of Alan and Billy) is here?
  • (Someone who knows Alan) or (Billy himself) is here?


題外話二:

數學名詞雖然有嚴謹的定義,但「約定俗成」的例子其實也很多:
  • ab2 是指 a(b2) 而非 (ab)2,但 cm2 卻是指 (cm)2,即 1 cm2 = (0.01 m)2 而不是 0.01(m2)。
     
  • sin 2 a 是指 (sin 2) a 還是 sin(2a)?絕大多數人接受是 sin(2a),但 sin a cos b 是指 (sin a)(cos b) 還是 sin (a cos b) 呢?絕大多數人會認為是 (sin a)(cos b)。兩者看來是有點矛盾的,但這是「俗成」了。

2011年4月2日 星期六

第十屆培正數學邀請賽決賽題目及答案

中一
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F1.pdf

中二
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F2.pdf

中三
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F3.pdf

中四
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F4.pdf

中五
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F5.pdf

答案
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_FA.pdf

2011年3月1日 星期二

數學資料庫 academic seminar

日期:2011 年 3 月 13 日(星期日)
時間:下午 5 時至 6 時半
地點:香港理工大學 (Rm : BC203)
講者:黃靜小姐(香港中文大學數學系)

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Any other special angles? Algebra knows.

Since we were in junior secondary school, we have already learnt about the trigonometric functions sin, cos and tan, and their values at the special angles 30°, 45° and 60°, for example, cos60°=1/2.

In this seminar, we investigate the possibility for a trigonometric ratio cos(360°/p) to be expressed in terms of distinct radicals and rational numbers, where p is a prime. It turns out that the only two possibilities are p=3 and p=5.

We will use the Galois Theory in abstract algebra to prove this result.

數學資料庫生日會

3 月 13 日(星期日)是數學資料庫的生日的前一天!如此大日子,我們安排了一連串的活動,大家萬勿錯過!

• 當天下午數學資料庫將舉辦 academic seminar(詳情快將在此公佈)。
• 當天晚上是數學資料庫的週年晚宴暨生日會,安排如下:

時間:7時閧始入席;下午 7 時半開始晚餐
地點:水瓶座咖啡室(旺角花園街2-16號好景商業中心3樓)
收費:中學生 -- 90 元
   其他  -- 100 元

預先登記每位減收 10 元*
除了豐富的自助美食外,當晚更設有遊戲活動和幸運大抽獎,有機會贏得數學資料庫神秘大獎!機會難逢,快跟朋友一起電郵至 mathdb.fomd@gmail.com 報名吧!

* 需於 3 月 6 日(星期日)下午 8 時前連同姓名、人數(中學生和非中學生人數)和聯絡電話電郵至 mathdb.fomd@gmail.com,我們將以電話回覆作實。

2011年2月15日 星期二

香港中文大學公開講座

數學與哈利波特的隱形斗篷!

如果你看過電影《哈利波特》, 你應該見識過隱形斗篷的魔力, 怎樣把哈利隱形以及協助他逃過一幕又一幕的險境。究竟隱形斗篷可否在現實中出現呢?我們將以數學解答這個有趣的問題。

  • 講者:鍾子信教授
  • 日期:2011 年 2月26日 (星期六)
  • 時間:上午 10:30 至 中午 12:00
  • 地點:香港中文大學邵逸夫堂
  • 語言:粵語

http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture20/lecture20.html

2011年1月18日 星期二

2011網上數學資源設計比賽(OMRC)

覺得平日數學課本內容不夠挑戰性?
覺得自己能創造更漂亮的證明?
在平常生活中見到很多的「數學」?

那麼你就要留意由數學資料庫和香港資優教育學院合辦的「2011網上數學資源設計比賽」!


比賽的網上報名平台已經開始接受提交作品,詳情請參閱:

http://hkage.org.hk/b5/sz_programmes.html?tab1=2&mac=open


你還不快把握這次的機會發揮你的數學小宇宙!

2011年1月6日 星期四

MD Academic Seminar (updated)

數學資料庫於一月舉行的 academic seminar 的詳情如下 :

日期 : 2011 年 1 月 9 日 ( 星期日)
時間 : 下午 4 時 30 分至 6 時
地點 :
香港理工大學 (Rm : R407)
講者 : 張潤權先生 (New York University)

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Combinatorics - A Bit More Than Counting

Among Mathematics graduate students, some of them have never heard the word "Combinatorics". Even in a graduate class of Combinatorics, the professor, a star in the area, said that he could not really define what is Combinatorics. Field Medalist Terrence Tao claimed that Combinatorics may be the only exceptional area in modern Mathematics research. There are many areas in Mathematics related to Combinatorics, e.g. algebraic combinatorics, analytic combinatorics, probabilistic combinatorics, combinatorial geometry, combinatorial number theory, combinatorial algorithms, combinatorial design.
These facts seem contradicting as the subject of huge coverage is unaware by some of the reasearchers in Mathematics. That is Combinatorics. Not until recently Combinatorics is not covered in Hong Kong public examination syllabus, while it includes concepts like permutations and combinations in the core syllabus. I am going to talk about the interesting side of Combinatorics in this seminar.

2011年1月5日 星期三

MD Academic Seminar

數學資料庫於一月舉行的 academic seminar 的詳情如下:

日期:2011 年 1 月 9 日(星期日)
時間:(稍後公佈)
地點:香港理工大學
講者:張潤權先生(New York University)

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Combinatorics - A Bit More Than Counting

Among Mathematics graduate students, some of them have never heard the word "Combinatorics". Even in a graduate class of Combinatorics, the professor, a star in the area, said that he could not really define what is Combinatorics. Fields Medalist Terrence Tao claimed that Combinatorics may be the only exceptional area in modern Mathematics research. There are many areas in Mathematics related to Combinatorics, e.g. algebraic combinatorics, analytic combinatorics, probabilistic combinatorics, combinatorial geometry, combinatorial number theory, combinatorial algorithms, combinatorial design.

These facts seem contradicting as the subject of huge coverage is unaware by some of the researchers in Mathematics. That is Combinatorics. Not until recently Combinatorics is not covered in Hong Kong public examination syllabus, while it includes concepts like permutations and combinations in the core syllabus. I am going to talk about the interesting side of Combinatorics in this seminar.