三角題一則

問題：求 3 sin x + 4 cos x 的最大值。

在會考的附加數學科裏這題有以下的標準解法：設 3 sin x + 4 cos x = R sin (x+y)，則 3 sin x + 4 cos x = (R cos y) sin x + (R sin y) cos x，故比較系數可知 R cos y = 3 而 R sin y = 4（這時頭腦清醒的學生應該問「為何可以比較系數？」），解方程可得 R = 5 而 y = tan^-1(4/3)，從而 3 sin x + 4 cos x 的最大值是 5。

最近碰到以下有趣的題解：不妨設 x 為銳角（為何可以這樣做？），再考慮下圖，易見 CE = 3 sin x 而 ED = 4 cos x。再者，不難發現 AEB 是直角而 AC // BD，故此 3 sin x + 4 cos x = CD ≦ AB = 5（等號何時成立？）。