四捨五入

日前有報章報導，東亞銀行的網上系統有漏洞，只要不斷透過四捨五入造成的誤差，便可安坐家中賺取利潤。本文談談「四捨五入」這個數學上常用的取近似值的方法。

四捨五入的原理很簡單，基本上就是「向較接近的一方取近似值，以減少誤差」。例如，要把123.456 取小數點後一位的近似值，則因為 123.456 界乎 123.4 和 123.5 之間，而且較接近後者，因此我們取 123.5 作為近似值。

這裡有一個小問題，就是「較接近的一方」並不一定存在，例如把 123.450 捨入至 123.4 和 123.5 都是「同樣接近」的，故此我們根據「五入」的規則，把 123.450 向上捨入至 123.5。但這樣做的話得出的近似值會偏大。如果只是把 123.450 變成 123.5 當然問題不大，不過如果是 1.5 變 2，或 10.5 變 11 的話，而且經常要「五入」的話（這樣的例子是存在的，例如以 0.5 分為評分單位但最終分數必定是整數的考試），那就很不同了。

為了解決這個「偏大」的問題，一個「修正版」的四捨五入法是「四捨六入五留雙（banker's rounding）」。名字本身有點誤導：雖然叫「六入」，但其實是「(5+ε)入」，例如 123.456 仍會「(5.6)入」至 123.5。只是當出現 123.450 這些「打和」的情況時，才採用「五留雙」的規則：如果 5 字前的位是雙數則保留，單數則進位，故基於「4」是雙數，123.450 會向下捨入至 123.4，而 123.550 則會上捨入至 123.6。至於「banker」是否真的採用此規則，大家不妨測試一下。

那麼為甚麼要「留雙」而不是「留單」呢？我有以下猜測。在以上 123.456 的例子中，如果採用四捨五入法取小數點後一位的近似值，則會變成 123.5，如果再把近似值取最接近整數，則變成 124。問題是最接近 123.456 的整數應是 123 才對。再細看一下，我們發現其實 123.44...445 已經可以「合法地」變成 124：只要逐位「五入」即可，而且即使採用「四捨六入五留單」，同樣的情況仍會發生。採用「五留雙」的話，這樣的情況會得到一點點的改善（雖然也好不到哪裡）：123.4500...001 才可以「合法地」變成 124！