一道組合題－－題解

　　這是上文提到的組合數學題題解。

　　若小方塊是橫放的，我們設它蓋著 k 和 k + 1。這個小方格蓋著的數字的積是 k(k + 1)，不難驗算它和 0.5[k² + (k + 1)²] - 0.5 等價。

　　若小方塊是縱放的，我們設它蓋著 k 和 k + 10。這個小方格蓋著的數字的積是 k(k + 10)，不難驗算它和 0.5[k² + (k + 10)²] - 50 等價。

　　假設 n 個小方塊是橫放的，50 − n 個小方塊是直放的。當我們把這 50 個積加起來時，不難發現我們必定把 0.5 × 1²、0.5 × 2²、0.5 × 3²、……、0.5 × 100² 都在藍色的部分加了一次，而綠色的部分則為 n 個 -0.5 及 (50 - n) 個 -50。我們注意 n 的值不影響前半部分，只影響後半部分的和。因此，為使這個和盡量大，我們應使後半部分盡量大。不難得知當 n 是 50 時，這個和便達到最大值 0.5(1² + 2² + ... + 100²) - 50 × 0.5 = 169150；同理，當 n 是 0 時，這個和便達到最小值 0.5(1² + 2² + ... + 100²) - 50 × 50 = 166675。因為我們可用 50 個橫放的小方格或 50 個直放的小方格蓋著方格表，所以這兩個值都是可取的。

　　由上述討論可知，我們只需知道橫放的小方塊的數量，便可求得該和。我們可由填色的方法證明，橫放的小方塊的數量必定是在 0 至 50 之間的共 26 個偶數。因此這個和共有 26 個可能值。