充滿數學哲理的名言（一）

有些名言充滿數學哲理，本文選談兩個和概率論有關的名言。

上得山多終遇虎

這句話原指走到山上要面對老虎帶來的危險，即使一次沒有遇到，但如果不斷上山的話，總會有遇到老虎的一天，通常用作比喻做壞事的人終會受到制裁。這話背後有甚麼數學哲理呢？假設每次上山「遇虎」的概率為 p (>0)，且上山 n 次後遇虎最少一次的概率是 P_n，則 P_n = 1 - (1-p)ⁿ，故此不難發現當 n 趨向無限大時，P_n 的值趨向 1，應驗了「終遇虎」的結論！

一鳥在手勝過二鳥在林

這句話相信是出自英語的「One bird in hand is worth two in the bush」，不論中英文版本都有一些「變種」，主要是把「二」變成其他數字，不過意思也都相同，就是說「實在」勝過「浮雲」，有時則用以比喻要珍惜現在，別奢求無法得到的東西。

這話背後又有甚麼數學哲理？一鳥在手是否勝過二鳥在林，表面上視乎「在林」的鳥可以「到手」的概率 p，也就是視乎「二鳥在林」的期望值（expected value）。如果 p>0.5 的話，則「二鳥在林」的期望值是比「一鳥」高的。那麼為甚麼有一鳥在手「勝過」二鳥在林的說法呢？

很多時候，我們下決定時都不只看期望值。舉例說，假設你的身家有 n 元，現讓你從一副紙牌中抽兩張，如果抽到黑桃 A 和紅心 A 的話獎你 100000 n 元，否則輸掉 n 元，遊戲只可玩一次。這個遊戲的期望值是個很大的正數（當然是相對 n 而言），你願意參加嗎？ 除了期望值外，離差（dispersion）也會影響我們的決定，例如標準差（standard variation）是一個常見的離差指標。一般來說，我們希望離差越小越好，於是以上遊戲中正數的期望值便不足以彌補很大的離差。

這就解釋了一鳥在手為何可以勝過二鳥在林了 -- 因為「一鳥在手」時標準差是零，而「二鳥在林」時標準差是正數呢！