充滿數學哲理的名言（二）

本文再談一個充滿數學哲理的名言：「大膽假設，小心求證」。這句名言是中國近代學者胡適於五四運動期間提出的科學精神。用於數學，這句話特別有意思。最近我在一個測驗中給了學生一道題：

現要在一個 3x3 表格的九格中分別填上 1 至 9。若兩個相鄰的方格的兩數中，一個是另一個的倍數，則這兩個方格稱為「好對」。求「好對」的數目的最大可能值。

這題不難，經過一些試驗後，很多學生都得到一個 9 個「好對」的例子：

８　２　６

４　１　３

５　７　９

當然，這並不足夠，因為題目是求「好對」的數目的最大可能值，你怎知道這是最大呢？於是學生開始「證明」起來：「由於 1 可組成最多好對，為使好對的數目最多，所以 1 應該放在中間；2 可組成第二多的好對，所以應該放在一行或一列的中間，……」

「1 應該放在中間」是很自然的想法，這源自我們「對數學的感覺」。這份「數學感」是很重要的，因為解決數學問題時我們很多事不會預知結果，而是要找出結果再作證明，過程中這份「感覺」往往可以指導我們作出合理的猜測，此乃「大膽假設」。在「有感覺」的前提下，我們的假設不妨大膽一點（注意「大膽假設」異於「隨意猜測」，前者是基於理性的「數學感」的），事實上數學的發展是很靠創意和想像力的，而作出假設也可以給我們清晰的目標。

可是數學對證明的要求是十分嚴謹的，說某些數字「應該」放在某些地方，從證明的角度看其實是「說了等於沒說」，我們得提出確實的證據來說明我們的假設是對的，此乃「小心求證」。事實上這些來自我們的「直覺」的假設有些時候是不正確的，例如：有些人也許會認為「由於 5 和 7 都只能和 1 組成好對，因此 1 應該和 5、7 都相鄰」，這個假設看起來似乎也合理，但卻是錯的（要知道它確實是錯的話，也得「小心求證」！）。

由此可見，「大膽假設」固然重要，但「小心求證」也同樣重要。大家可以動手「小心求證」一下，在上題中「好對」數目的最大可能值的確是 9。這裡方法有很多，最常見的方法是考慮 5 和 7 的位置的可能性，另有一個更漂亮和簡潔的證明，是分別考慮「牽涉 1、2 的好對」和「不牽涉 1、2 的好對」的數目，大家不妨試試。