24 小時制與 12 小時制

我們知道，表示時間一般有兩種方式：24 小時制（例如 06:17、23:20 等）和 12 小時制（例如 06:07 AM、11:20 PM 等）。不同人對兩者有不同的喜好，例如有人認為我們看慣了 12 小時制的時鐘，所以用 12 小時制會較為容易，亦有人認為 24 小時制比較清晰，可以避免混淆。

無疑，兩者都各有其好處。不過我想到一個實際的原因，使用起來還是 24 小時制比較方便的，那在於比較時間的先後次序。當我們有一些日期和時間的數據需要排序時，我們會先看年份，較小者為先，相同則看月份，再相同則看「日」，仍然相同時便要比較時間。如果是 12 小時制的話，那自然是先看上午或下午，再看「時」，再看「分」。大家試試對以下同一天內的時間排列先後次序：

07:23 AM
11:06 PM
12:23 PM
12:45 AM
10:37 AM
10:30 PM
11:01 PM
07:38 AM

大家看出了問題所在嗎？要把 10、11 和 12 排序時，正確的次序是 12、10、11，這和我們平日對數字的自然反應很不同。使用 24 小時制的話，這個問題便迎刃而解。當然，堅持使用 12 小時制也可以解決這個問題的 -- 只要把時鐘上的 「12」改成「0」就可以了。XD

IMO Q6 2009

There is this collaborative project of solving IMO Q6 2009: http://terrytao.wordpress.com/2009/07/20/imo-2009-q6-as-a-mini-polymath-project/. Perhaps some of you will be interested in thinking about the problem together (with all the other math people around the world)? I saw Tim Gowers (a Field's medalist) constantly making comments on the various approaches that people suggest, so it might be interesting to read the comments as people make progress even if you are not actively thinking about it.

Video lectures online

I was just brought into notice that seven videotaped lectures from 1964 by the renowned physicist Richard Feynman, on "The Character of Physical Law", have been put online for public use. (I learned this from this post by Terry Tao, and if you're interested in these lectures by Feynman you'll also probably be interested in the following more advanced lectures that he gave.) I hope it's not too out of place to put this piece of news here, but having heard this triggered me to look online for some good math lectures as well. I found the following site, which has some good undergraduate level mathematics lectures (probably accessible to some F.6 or F.7 students too):

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/courses/av/index.htm#Mathematics

In fact I think the first course, on single variable calculus, should be good for students studying Additional mathematics. These are very good learning materials, and hopefully some of you will find it useful.

Test Your Intuition

有一個網誌叫"Combinatorics and More"。近期網誌主人有一系列"Test Your Intuition"的文章，裏面有一些問題，你要用直觀猜答案。我自己覺得是很好玩的東西。（齋睇blog文唔好玩，要睇埋comments！）

今天我也仿傚一下，出一題test大家的intuition吧！

若將首N個3的倍數都轉成二進制，當N很大的時候（例如N大於1億），你猜數字"0"與數字"1"出現的次數哪個較多？互有領先？還是其中一個出現的次數永遠比另一個多？

（註：不考慮leading zeros！）

充滿數學哲理的名言（二）

本文再談一個充滿數學哲理的名言：「大膽假設，小心求證」。這句名言是中國近代學者胡適於五四運動期間提出的科學精神。用於數學，這句話特別有意思。最近我在一個測驗中給了學生一道題：

現要在一個 3x3 表格的九格中分別填上 1 至 9。若兩個相鄰的方格的兩數中，一個是另一個的倍數，則這兩個方格稱為「好對」。求「好對」的數目的最大可能值。

這題不難，經過一些試驗後，很多學生都得到一個 9 個「好對」的例子：

８　２　６

４　１　３

５　７　９

當然，這並不足夠，因為題目是求「好對」的數目的最大可能值，你怎知道這是最大呢？於是學生開始「證明」起來：「由於 1 可組成最多好對，為使好對的數目最多，所以 1 應該放在中間；2 可組成第二多的好對，所以應該放在一行或一列的中間，……」

「1 應該放在中間」是很自然的想法，這源自我們「對數學的感覺」。這份「數學感」是很重要的，因為解決數學問題時我們很多事不會預知結果，而是要找出結果再作證明，過程中這份「感覺」往往可以指導我們作出合理的猜測，此乃「大膽假設」。在「有感覺」的前提下，我們的假設不妨大膽一點（注意「大膽假設」異於「隨意猜測」，前者是基於理性的「數學感」的），事實上數學的發展是很靠創意和想像力的，而作出假設也可以給我們清晰的目標。

可是數學對證明的要求是十分嚴謹的，說某些數字「應該」放在某些地方，從證明的角度看其實是「說了等於沒說」，我們得提出確實的證據來說明我們的假設是對的，此乃「小心求證」。事實上這些來自我們的「直覺」的假設有些時候是不正確的，例如：有些人也許會認為「由於 5 和 7 都只能和 1 組成好對，因此 1 應該和 5、7 都相鄰」，這個假設看起來似乎也合理，但卻是錯的（要知道它確實是錯的話，也得「小心求證」！）。

由此可見，「大膽假設」固然重要，但「小心求證」也同樣重要。大家可以動手「小心求證」一下，在上題中「好對」數目的最大可能值的確是 9。這裡方法有很多，最常見的方法是考慮 5 和 7 的位置的可能性，另有一個更漂亮和簡潔的證明，是分別考慮「牽涉 1、2 的好對」和「不牽涉 1、2 的好對」的數目，大家不妨試試。