和
。
AM-GM 不等式指出，n 個正數的算術平均必定大於或等於幾何平均，而且等號成立當且僅當該 n 個數皆相等。例如：2003、3、14 的算術平均約是 673.33，幾何平均約是 43.82。
本系列會探討 AM-GM 不等式的證明方法。今回先來一個「無言的證明（proof without words）」：
當然，以上證明只包括 n=2 的情況，純屬「欣賞指數高」之作。至於「實用指數高」的證明方法，我們下回再談。
2009年8月31日 星期一
AM-GM 不等式的幾個證明（一）
給定 n 個正數 x1、x2、…、xn，它們的算術平均（arithmetic mean，簡稱 AM）是指它們之和除以 n，而它們的幾何平均（geometric mean，簡稱 GM）則指它們之積的 n 次方根，即
2009年8月16日 星期日
MD Academic Seminar
數學資料庫將於本月底舉行期待已久的 academic seminar！ 詳情如下：
日期：2009 年 8 月 30 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 5 時 30 分
地點：香港中文大學邵逸夫夫人樓（Lady Shaw Building）232 室（見註）
講者：楊葆霖先生（普林斯頓大學數學系博士研究生）
註：從港鐵大學站（中文大學出口）轉右，可乘坐中文大學校巴於第二個站（潤昌堂）下車，步行約兩分鐘即可抵達邵逸夫夫人樓。星期日的校巴於每小時 00、20、40 分在大學站開出，車程約 5 分鐘。
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講題：淺談拓撲－－沒有長度的幾何
簡介：長度和角度都是幾何中常見的概念。可是如果我們只想探討物件的大約形狀（例如宇宙有多少個「洞」），我們並不真的需要討論長度與角度。拓撲學正是數學中探討這種問題的一門重要學科。講座將深入淺出地介紹拓撲學裏一些重要的概念和例子，並會討論一些初中常見的幾何定理跟拓撲學的關係。
講座適合初中或以上學生。
Topic: A leisurely introduction to topology: geometry without lengths
Abstract: Length and angles are common concepts in geometry. However, if one is only interested in the rough shape of an object (like how many "holes" there are in our universe), then these concepts are actually irrelevant. Topology is the branch of mathematics that studies these questions. In the talk, we shall introduce some useful notions and interesting examples in topology, and discuss how some common theorems in elementary geometry relates to topology.
The talk will be accessible to students in Form 1 or above.
日期：2009 年 8 月 30 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 5 時 30 分
地點：香港中文大學邵逸夫夫人樓（Lady Shaw Building）232 室（見註）
講者：楊葆霖先生（普林斯頓大學數學系博士研究生）
註：從港鐵大學站（中文大學出口）轉右，可乘坐中文大學校巴於第二個站（潤昌堂）下車，步行約兩分鐘即可抵達邵逸夫夫人樓。星期日的校巴於每小時 00、20、40 分在大學站開出，車程約 5 分鐘。
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講題：淺談拓撲－－沒有長度的幾何
簡介：長度和角度都是幾何中常見的概念。可是如果我們只想探討物件的大約形狀（例如宇宙有多少個「洞」），我們並不真的需要討論長度與角度。拓撲學正是數學中探討這種問題的一門重要學科。講座將深入淺出地介紹拓撲學裏一些重要的概念和例子，並會討論一些初中常見的幾何定理跟拓撲學的關係。
講座適合初中或以上學生。
Topic: A leisurely introduction to topology: geometry without lengths
Abstract: Length and angles are common concepts in geometry. However, if one is only interested in the rough shape of an object (like how many "holes" there are in our universe), then these concepts are actually irrelevant. Topology is the branch of mathematics that studies these questions. In the talk, we shall introduce some useful notions and interesting examples in topology, and discuss how some common theorems in elementary geometry relates to topology.
The talk will be accessible to students in Form 1 or above.
2009年8月4日 星期二
話事啤
很多以賭博為題的電視劇或電影中都會出現「話事啤」遊戲，劇中出現的賭局往往是「同花順贏四條」之類的「夢幻組合」。大家只要「實戰」一下的話，肯定會發現出現「花」或以上的牌組其實已經極其困難，即使窮畢生的精力，恐怕也未必能遇上這樣的情況。
我們不妨計算一下「花」出現的概率。五張牌的組合共有 C(52,5)=2598960 個，而「花」的組合則有 4x(C(13,5)-10)=5108 個。（這裡「4x」是因為有四門花式可選擇，「C(13,5)」是因為每次從指定花式的 13 張中選 5 張，「-10」是要除去「同花順」的可能性。）因此出現「花」的概率是 5108/2598960，即約 0.1965%，故此平均每 509 手牌才有一次「花」的出現。「夫佬」、「四條」和「同花順」要難得多，例如「同花順」出現的概率只有 40/2598960（約 0.0015%），平均每 64974 手牌才會出現一次。
值得一提，電視劇或電影中不時會出現「三條贏蛇」的場面，而現實中亦有人採納這樣的規則。但經計算可知，「三條」出現的概率是 54912/2598960（約 2.1128%），而「蛇」出現的概率則是 10200/2598960（約 0.3925%），可見得到「三條」比「蛇」容易得多，因此「國際慣例」是「蛇贏三條」的，這也是較合理的規定。
「甚麼也沒有」的概率是多少？只要從 1 減去「一對」、「兩對」、「三條」、「蛇」、「花」、「夫佬」、「四條」和「同花順」的概率，可得 1302540/2598960（約 50.1177%）。細看一下，原來剛好是「花」的概率的 255 倍，這不太可能是巧合吧？再想一想，你是否已經彷然大悟呢？當你再發現「蛇」的概率也正好是「同花順」的 255 倍時，你又是否在驚嘆數學竟可這樣美麗和迷人？
我們不妨計算一下「花」出現的概率。五張牌的組合共有 C(52,5)=2598960 個，而「花」的組合則有 4x(C(13,5)-10)=5108 個。（這裡「4x」是因為有四門花式可選擇，「C(13,5)」是因為每次從指定花式的 13 張中選 5 張，「-10」是要除去「同花順」的可能性。）因此出現「花」的概率是 5108/2598960，即約 0.1965%，故此平均每 509 手牌才有一次「花」的出現。「夫佬」、「四條」和「同花順」要難得多，例如「同花順」出現的概率只有 40/2598960（約 0.0015%），平均每 64974 手牌才會出現一次。
值得一提，電視劇或電影中不時會出現「三條贏蛇」的場面，而現實中亦有人採納這樣的規則。但經計算可知，「三條」出現的概率是 54912/2598960（約 2.1128%），而「蛇」出現的概率則是 10200/2598960（約 0.3925%），可見得到「三條」比「蛇」容易得多，因此「國際慣例」是「蛇贏三條」的，這也是較合理的規定。
「甚麼也沒有」的概率是多少？只要從 1 減去「一對」、「兩對」、「三條」、「蛇」、「花」、「夫佬」、「四條」和「同花順」的概率，可得 1302540/2598960（約 50.1177%）。細看一下，原來剛好是「花」的概率的 255 倍，這不太可能是巧合吧？再想一想，你是否已經彷然大悟呢？當你再發現「蛇」的概率也正好是「同花順」的 255 倍時，你又是否在驚嘆數學竟可這樣美麗和迷人？
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