相信不難由圖中找出反例吧。
有什麼時候 SSA 能夠成條兩個三角形全等的條件呢？
(試由上圖假設 ABC_1 , ABC_2 兩組三角形全等)
上圖由幾何軟件 GeoGebra 繪製而成.
大致上的 command 如下:
A=(0,0)
X=(10,0)
a=Line[A,X]
X'=Angle[X,A,50°]
Segment[A,X']
d=Circle[X',8]
Intersect[d,a]
2010年4月30日 星期五
2010年4月27日 星期二
直角三角形的中線（一）
設 ABC 為直角三角形，B 為直角。從 B 作中線到 AC 的中點 D，試證明 DA = DB = DC。
這題有很多不同的解法，以下先列出一個。你能想出其他解法嗎？
解法一
作點 E 使得 ABCE 為長方形。
由於長方形的對角線互相平分，而 D 是 AC 的中點，故可知 B、D、E 成一直線。再由長方形兩條對角線相等的性質可知 DA = DB = DC (= DE)。
這題有很多不同的解法，以下先列出一個。你能想出其他解法嗎？
解法一
作點 E 使得 ABCE 為長方形。
由於長方形的對角線互相平分，而 D 是 AC 的中點，故可知 B、D、E 成一直線。再由長方形兩條對角線相等的性質可知 DA = DB = DC (= DE)。
2010年4月23日 星期五
[轉貼]由三分之二變成0.66
幸好香港立法會人數不多，不然的話政改方案通過與否，可能需要人大釋法，解釋三分之二的值是多少。
At Issue In a Massachusetts Town, the Value of Two-Thirds
BTW，這件事會教一些人想起那道培正數學邀請賽第一屆的經典題目吧。
At Issue In a Massachusetts Town, the Value of Two-Thirds
BTW，這件事會教一些人想起那道培正數學邀請賽第一屆的經典題目吧。
2010年4月11日 星期日
Algebra and Algorithm
A quote from the book "A History of Abstract Algebra" by Israel Kleiner:
Islamic mathematicians attained important algebraic accomplishments between the ninth and fifteenth centuries AD. Perhaps the foremost among them was Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi, dubbed by some "the Euclid of agebra" because he systematized the subject and made it into an independent field of study. He did this in his book al-jabr w al-muqabalah.
A small game: the book says that the words "Algebra" and "Algorithm" are derived from two words in the quoted paragraph. Can you find them?
Islamic mathematicians attained important algebraic accomplishments between the ninth and fifteenth centuries AD. Perhaps the foremost among them was Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi, dubbed by some "the Euclid of agebra" because he systematized the subject and made it into an independent field of study. He did this in his book al-jabr w al-muqabalah.
A small game: the book says that the words "Algebra" and "Algorithm" are derived from two words in the quoted paragraph. Can you find them?
2010年4月4日 星期日
一道概率問題（下）
上回提到，在計算概率並數算「可能結果的總數」時，必須確保每個可能結果的出現機會均等。這裡我們以一道培正數學邀請賽的試題來加以說明。
今年培正數學邀請賽決賽的中四組第 9 題和高中組第 10 題是相同的，都是計算題中遊戲的勝出概率。由於每個球可射進其中一條坑道，因此可能的結果共有 55 = 3125 個。以「成一鉛垂線」勝出的可能結果有 5 個，而以「成一水平線」勝出的可能結果則有 5! = 120 個（因為該 5 個球有 120 種不同方式被「分配」進 5 條坑道）。因此答案是 (5+120)/3125 = 1/25。
本題有 45.4% 的參賽者答對，以「5 分題」來說屬正常水平。值得留意的反而是三個最常見的錯誤答案，它們分別是 6/3125（12.8%）、1/21（8.2%）和 2/3125（2.0%）。參賽者是如何得出這些答案的呢？
6/3125 顯然是因為把以上的「120」當成了「1」，而這顯然是不正確的，因為在數算出 3125 個可能結果的過程中，那「1」個可能結果（即 5 個球成一水平線）是被數算了 120 次的。而 2/3125 則顯然是把「5」和「120」都當成了「1」，也自然是不正確的。
1/21 呢？相信這是從 6/126 化簡而來的。「6」個勝出的結果自然是「5 直 1 橫」。如果「成一水平線」的結果只算一次的話，那麼可能結果的總數是多少？（也就是說我們只關心每條坑道中球的數目，例如 (1,1,1,1,1) 只算一次，這個在之前的解法中是算了 120 次的；而 (5,0,0,0,0) 和 (0,5,0,0,0) 則算作兩個不同的結果。這裡 (0,5,0,0,0) 表示 5 個球都被射進第二條坑道，如此類推。）這個總數就是方程 a+b+c+d+e=5 的非負整數解的數目，即 H(5,5) = C(9,5) = 126。
這個解法有甚麼問題呢？問題正正就出在之前所說的「必須確保每個可能結果的出現機會均等」那兒。出現 (0,5,0,0,0) 顯然比 (1,1,1,1,1) 難：直觀地想，前者必須每個球都射進第二條坑道，至於後者，則開首的幾個球有「較大的自由度」。因此這樣計算出來的概率是不正確的，這跟 5 個球相同與否（identical or distinguishable）也是無關的（直觀地想，5 個球的顏色相同或不同，應該不會影響勝出的機會吧！）。
當然，在高等數學中，概率的定義要嚴格得多。有興趣的讀者可以參看數學資料庫關於概率的教學單元。
今年培正數學邀請賽決賽的中四組第 9 題和高中組第 10 題是相同的，都是計算題中遊戲的勝出概率。由於每個球可射進其中一條坑道，因此可能的結果共有 55 = 3125 個。以「成一鉛垂線」勝出的可能結果有 5 個，而以「成一水平線」勝出的可能結果則有 5! = 120 個（因為該 5 個球有 120 種不同方式被「分配」進 5 條坑道）。因此答案是 (5+120)/3125 = 1/25。
本題有 45.4% 的參賽者答對，以「5 分題」來說屬正常水平。值得留意的反而是三個最常見的錯誤答案，它們分別是 6/3125（12.8%）、1/21（8.2%）和 2/3125（2.0%）。參賽者是如何得出這些答案的呢？
6/3125 顯然是因為把以上的「120」當成了「1」，而這顯然是不正確的，因為在數算出 3125 個可能結果的過程中，那「1」個可能結果（即 5 個球成一水平線）是被數算了 120 次的。而 2/3125 則顯然是把「5」和「120」都當成了「1」，也自然是不正確的。
1/21 呢？相信這是從 6/126 化簡而來的。「6」個勝出的結果自然是「5 直 1 橫」。如果「成一水平線」的結果只算一次的話，那麼可能結果的總數是多少？（也就是說我們只關心每條坑道中球的數目，例如 (1,1,1,1,1) 只算一次，這個在之前的解法中是算了 120 次的；而 (5,0,0,0,0) 和 (0,5,0,0,0) 則算作兩個不同的結果。這裡 (0,5,0,0,0) 表示 5 個球都被射進第二條坑道，如此類推。）這個總數就是方程 a+b+c+d+e=5 的非負整數解的數目，即 H(5,5) = C(9,5) = 126。
這個解法有甚麼問題呢？問題正正就出在之前所說的「必須確保每個可能結果的出現機會均等」那兒。出現 (0,5,0,0,0) 顯然比 (1,1,1,1,1) 難：直觀地想，前者必須每個球都射進第二條坑道，至於後者，則開首的幾個球有「較大的自由度」。因此這樣計算出來的概率是不正確的，這跟 5 個球相同與否（identical or distinguishable）也是無關的（直觀地想，5 個球的顏色相同或不同，應該不會影響勝出的機會吧！）。
當然，在高等數學中，概率的定義要嚴格得多。有興趣的讀者可以參看數學資料庫關於概率的教學單元。
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