指數問題一則

在香港高級程度會考的純粹數學科中，卷二的乙部第一題一般是曲線描繪（curve sketching）。要描繪其圖像的函數間中會牽涉「非整數次方」，例如 x^3/4。當 x 是負數時，這會引起很多問題（但描繪曲線時我們確實需要考慮 x 是負數時的情況）。舉例說，(-8)^2/6 等於多少？

甲同學：怎麼考評局這麼不小心啦， 是可以約簡成 的啊，所以 (-8)^2/6 = (-8)^1/3，即 -8 的立方根，也就是 -2 啦。

乙同學：(-8)^2/6 即 (-8)^1/6 的 2 次方，可是 (-8)^1/6 即 -8 開 6 次方，這是不可能的，因為任何實數的偶數次方都不可能是負數啊，所以它不是實數。

丙同學：我不同意乙同學的看法。我看過數學資料庫手記的一篇文章，裡面提到處理實數的過程中是有可能離開實數世界的，所以沒有問題啦，(-8)^1/6 應該等於 （大家不妨驗證一下， 的 6 次方的確等於 -8 啊），所以 (-8)^2/6 應該等於 的 2 次方，也就是 -2 啦，這跟甲同學的答案不謀而合。

丁同學：我們不是學過 的嗎？因此 呢。

到底誰的演繹才正確？

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首先，你可以說丁同學的說法是不穩妥的，因為他用到的那一條指數定律在 a>0 時才成立（數學書是這樣寫的）。

那麼乙同學的說法也同樣有問題了，他不是用到 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律嗎？這也需要 a>0 的啊（數學書也是這樣寫的）！

丙同學也用了 a^mn = (a^m)ⁿ 這條指數定律，而且對於 (-8)^1/6 的值的「驗證」也是不穩妥的（例如，(-2)⁶ = 64，那我可以說 64^1/6 = -2 嗎？）。

甲同學呢？他說 (-8)^1/3 即 -8 的立方根，「a^1/n 即 a 的 n 次方根」這句說話究竟對 a<0 是否成立？這個有點複雜，因為這牽涉兩個定義，就是「a^1/n」和「a 的 n 次方根」。這個姑且不談，(-8)^2/6 一定要等於 (-8)^1/3 的嗎？（如果 x=y，那麼 a^x 一定要等於 a^y 的嗎？我們知道，如果 f 是函數，那麼當 x=y 時，必定有 f(x)=f(y)，可是 f(x) = a^x 是函數嗎？對 a 的值有任何要求嗎？）

看到這裡，大家也許都感到天旋地轉了。我說了這麼多，究竟哪一個才是正確的答案？

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我的結論很簡單：哪個是正確答案視乎你如何定義。而就我所知，最常見的定義方法是不對負數的非整數次方下定義，即 (-8)^1/3 等都是「未下定義」（undefined）的（但這顯然跟公開試所採納的不同）。

如果你懂得複對數（complex logarithm）或類似課題的話，會較容易明白不同定義各自的「好與壞」，但對中學生來說，不對負數的非整數次方下定義，不是最自然和合理的選擇嗎？