2011年5月25日 星期三

捨去（rejected）

相信大家在中學課本中都會見過類似的題目：求方程 的所有實數解。

不難吧？兩邊取平方得 x2 - 1 = 2x - 1，化簡可得 x(x-2) = 0，因此 x = 0 或 2。然而，由於解題過程中曾經兩邊取平方（註 1），因此我們應該把答案代入原方程驗算。

把 x=2 代入原方程，左右兩邊皆等於 ，因此 x=2 是原方程的一個解。

把 x=0 代入原方程，左邊等於 ，由於這不是實數，故捨去 x=0 這個解。

且慢！當 x=0 時，右邊也等於 ，即左右兩邊相等（註 2）。題目所求的是實數解，並沒要求方程的兩邊都要是實數（註 3）。

在以往的香港中學會考數學科中，「複數」並不在課程內，因此對學生來說， 是「不存在」的，故捨去 x=0 是說得過去的。可是在新的香港中學文憑試中，數學科課程包括「複數」的概念，我們還有理由繼續教學生捨去 x=0 嗎？


註：

(1) 「由於解題過程中曾經兩邊取平方」是老師或課本經常給出的解釋，但這不是正確，或至少不是完滿的解釋，至少我們知道「需要驗算」的情況不止這一種。這個有機會另文再談。

(2) 這個牽涉一些複數的理論。對於實數的「開方」，我們取非負的平方根，例如 是 3 而不是 -3。對於負數及一般複數的「開方」，我們也會選一個「主值」（principal value，詳見這裡）。

(3) 「在處理實數的過程中離開了實數的世界」在數學上並不罕見，例如我們可以利用複分析（complex analysis）的技巧計算這個看來和複數毫無關係的積分：


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2011年5月15日 星期日

EPYMT2011

The Department of Mathematics, CUHK is offering 4 courses of a summer outreach programme "Enrichment Programme for Young Mathematics Talents" (EPYMT), for secondary school students. These courses include:

Geometric Perspectives of Complex Numbers (suits F.3-F.4 students) and
Understanding Non-Euclidean Geometry (suits F.6-F.7 students).

Junior form students who perform particularly well in mathematics may also be admitted. The students who join the course(s) of EPYMT can learn advanced mathematics during summer and get well equipped for New Senior Secondary Mathematics Curriculum. Besides, admitted students may also get admission consideration and/or two credits at CUHK.

All of the courses will be held at CUHK campus and be taught by the professors or lecturers of our department.

Online Registration and deadline: Midnight 18 May, 2011
Admission Screening Test: 21 May, 2011
Please kindly visit here for the details of each course.
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2011年4月12日 星期二

約定俗成

有朋友問，48 ÷ 2 (9+3) 等於多少？話說用計算機的話，有些計算機得出 2，有些得出 288，原因自然是 48 ÷ [2(9+3)] 和 48 ÷ 2 x (9+3) 的分別。那麼，到底那一個才是正確答案？

我的看法是兩個演譯都不能說錯。

如果我一看到這個算式，我會認為是 48 ÷ [2(9+3)] = 2。但如果你考慮到 2(9+3) 的定義的話，它的確是等於 2×(9+3)，即 2(9+3) 和 2×(9+3) 是完全相同的。

所以問題的關鍵是 2(9+3) 應否被視為 (2x(9+3)) 而非 2x(9+3)。由於高等數學裡很少用到乘號和除號，因此這個似乎沒有嚴格定義（也許有但我不知道吧），於是這件事變得有點約定俗成。

在 「習俗」上，我想很多人都會同意「不寫出來的乘號」的運算次序應該比「除號」為高，所以 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ [2(9+3)] = 2 至少在「常理」上是正確的。但就我所知，數學上的確沒有這個規定，因此如果認為 48 ÷ 2 (9+3) = 48 ÷ 2 x (9+3) = 288 的話，我也找不到任何理由認為有錯。

故此我的結論是 48 ÷ 2 (9+3) 這種寫法不好，還是用分數或加個括號避免混淆吧。


題外話一：

語意上出現混淆（ambiguity）並不罕見，除了在數學外，中文和英文也有很多例子（數學也是一種語文）。例如：

「曼聯戰敗了阿仙奴獲得了冠軍」
  • 曼聯戰敗了（輸了），阿仙奴獲得冠軍？
  • 曼聯戰敗了阿仙奴（曼聯擊敗阿仙奴），所以曼聯獲得冠軍？
「Someone who knows Alan or Billy is here.」
  • Someone who knows (one of Alan and Billy) is here?
  • (Someone who knows Alan) or (Billy himself) is here?

題外話二：

數學名詞雖然有嚴謹的定義，但「約定俗成」的例子其實也很多：
  • ab2 是指 a(b2) 而非 (ab)2，但 cm2 卻是指 (cm)2，即 1 cm2 = (0.01 m)2 而不是 0.01(m2)。
    　
  • sin 2 a 是指 (sin 2) a 還是 sin(2a)？絕大多數人接受是 sin(2a)，但 sin a cos b 是指 (sin a)(cos b) 還是 sin (a cos b) 呢？絕大多數人會認為是 (sin a)(cos b)。兩者看來是有點矛盾的，但這是「俗成」了。
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2011年4月2日 星期六

第十屆培正數學邀請賽決賽題目及答案

中一
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F1.pdf

中二
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F2.pdf

中三
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F3.pdf

中四
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F4.pdf

中五
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F5.pdf

答案
http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_FA.pdf
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2011年3月1日 星期二

數學資料庫 academic seminar

日期：2011 年 3 月 13 日（星期日）
時間：下午 5 時至 6 時半
地點：香港理工大學 (Rm : BC203)
講者：黃靜小姐（香港中文大學數學系）

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Any other special angles? Algebra knows.

Since we were in junior secondary school, we have already learnt about the trigonometric functions sin, cos and tan, and their values at the special angles 30°, 45° and 60°, for example, cos60°=1/2.

In this seminar, we investigate the possibility for a trigonometric ratio cos(360°/p) to be expressed in terms of distinct radicals and rational numbers, where p is a prime. It turns out that the only two possibilities are p=3 and p=5.

We will use the Galois Theory in abstract algebra to prove this result.
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數學資料庫生日會

3 月 13 日（星期日）是數學資料庫的生日的前一天！如此大日子，我們安排了一連串的活動，大家萬勿錯過！

• 當天下午數學資料庫將舉辦 academic seminar（詳情快將在此公佈）。
• 當天晚上是數學資料庫的週年晚宴暨生日會，安排如下：

時間：7時閧始入席；下午 7 時半開始晚餐
地點：水瓶座咖啡室（旺角花園街2-16號好景商業中心3樓）
收費：中學生 -- 90 元
　　　其他　 -- 100 元

預先登記每位減收 10 元*
除了豐富的自助美食外，當晚更設有遊戲活動和幸運大抽獎，有機會贏得數學資料庫神秘大獎！機會難逢，快跟朋友一起電郵至 mathdb.fomd@gmail.com 報名吧！

* 需於 3 月 6 日（星期日）下午 8 時前連同姓名、人數（中學生和非中學生人數）和聯絡電話電郵至 mathdb.fomd@gmail.com，我們將以電話回覆作實。
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2011年2月15日 星期二

香港中文大學公開講座

數學與哈利波特的隱形斗篷!

如果你看過電影《哈利波特》, 你應該見識過隱形斗篷的魔力, 怎樣把哈利隱形以及協助他逃過一幕又一幕的險境。究竟隱形斗篷可否在現實中出現呢？我們將以數學解答這個有趣的問題。

  • 講者：鍾子信教授
  • 日期：2011 年 2月26日 (星期六)
  • 時間：上午 10:30 至 中午 12:00
  • 地點：香港中文大學邵逸夫堂
  • 語言：粵語

http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture20/lecture20.html

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