2010年9月19日 Seminar

日期：2010 年 9 月 19 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港理工大學 (Rm:N001)
講者：Patrick Youkidean 先生（香港科技大學數學系研究生）
講題：抽象代數與著名的不可能問題
語言：粵語輔以英語

化圓為方、倍立方和三等分角這三個經典名題至今均沒有純幾何的處理方法，反而是十九世紀時所發展的抽象代數理論讓數學家證明了這些作圖都是不可能的。我們將會探討如何使用代數來解決幾何問題。

Two Interesting Questions

It is a long while since I wrote here last time. I have been to Europe and visited the Deutsche Museum in Munich. There is a small corner about Mathematics there and I took some photos. Maybe I post it next time.

Recently I read two interesting questions. Let me share them here.

1)

Find a smallest finite set of integers, such that every integer in the set is the sum of two other distinct elements in the set. There is one another rule: if x is an element of the set, then -x must NOT be an element of the set.

2)

A square matrix is said to be doubly stochastic if the entries in each row and in each column sum to the same value.

A permutation matrix is a square matrix where each entry in the matrix is either 0 or 1, and there is one and only one entry in each row and in each column which is 1.

Prove that any doubly stochastic matrix is a convex linear combination of permutation matrices.

Comment: The first question is interesting by itself. The second question is considered interesting because an easy solution by induction is possible, after knowing a combinatorial theorem called Hall's Theorem. The question itself may mislead you to some linear algebra arguments.

多買了，反而便宜了？

　　換季了。時裝店裏滿是新一季的秋裝，而未賣完的夏裝則大減價促銷。七折，五折，甚至三折，都不是新鮮事。為求盡快賣掉存貨，不少商店都提供「遞進式折扣」，那就是買得愈多，折扣愈大。我見過以下的折扣表：

「一件五折，兩件四折，三件或以上三折」

　　看過這樣的優惠後，我的第一個反應是：很少人會只買兩件吧？

　　在大多數情況下，很多人應該寧買三件也不買兩件。那是因為多買了，可能反而便宜了。試想想：假設我買了兩件衣服，原價共值　$300。四折後則為　$300 × 40% = $120。如果我多買一件原價　$50 的衣服，三件三折，折扣後為　$350 × 30% = $105。即使這件多買的衣服完全不管用，多買它也立即省了　$15。事實上，簡單的代數運算告訴我們，只要第三件衣服不超過　$100（也就是原來的總價格的三分之一），我們都可以免費拿走它，更可能省下了金錢。

下次遇上這樣的「遞進式折扣」時，不妨留意能否多買而省錢！

新網頁測試

數學資料庫的新網頁已在測試中

http://silver.mathdb.org:8080/silverstripe-test/
網頁的內容會不斷更新.

Abstract Algebra and Famous Impossibilities

Abstract Algebra and Famous Impossibilities

By Patrick Wong, HKUST

Date: July 27, 2010. (Tuesday)
Time: 6:00pm-7:30pm
Venue: Room 4504 (near Lifts 25 & 26) , HKUST
Target Audience: Students with basic algebra background

Abstract: The famous problems of squaring the circle, doubling the cube, and trisecting the angle have not yielded to purely geometrical methods. It was, however, the development of abstract algebra in the nineteenth century which enabled mathematicians to conclude that these constructions are not possible. We are going to look at the way how algebra solve the geometric problems.

寫在高考放榜前（二）

其實要講的事也八八九九說完了。畢竟，既然大學就是開放，只要你敢走自己的路，也無謂多說其他。

今天，只想講一個小故事。

幾年前，一位後輩小學升中。她的成績在小學內一直很好，考試總是頭幾名。她的媽媽來找我，說想女兒升讀一間英文中學，但女兒總是想升讀一間中文中學。我被指派擔當「談判者」的角色。

談了一回，我知道了真正的原因，並認為這原因不成熟。那一刻，我起了一個可怕的念頭：甚麼也不要談了，直接跟她的媽媽說，逼她選一間英文中學。

最後我沒有這樣做——我慶幸自己沒有這樣做。儘管如此，幾年後回想，我仍然為自己曾經有過這樣的念頭而覺得可怕。

我回想自己短短的廿多載人生。是的，很多決定都是幼稚，甚至是錯的。但我慶幸我在人生眾多選擇中，決定權在自己手中——這要多謝我的父母。曾經享受著「高度自治」的人竟然起了這樣的一個念頭？這是何等可怕的事情？

幾年後的今天，我知道這位女兒在自己選擇的新學校中過得快樂。

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現在，故事發生後的幾年，我讀過了《四代香港人》，亦讀了《三杯茶》裏主角Greg Mortenson的童年經歷，我更深刻的明白到父母與長輩的責任是要以身作則向子女提供良好的品德教育，在適當時候提供意見和輔導，而不是強逼甚至命令子女要做這要做那，令子女漸漸失去判斷力和走人生路的勇氣，變成自己的扯線公仔。

馬會可能通殺？買中了也輸錢？

　　世界盃是國際矚目的體育盛事，不少球迷一邊在電視前搖旗吶喊外，一邊下注，考考自己的眼光。投注項目五花八門，除了每場比賽的賽果外，亦有以世界盃為整體的專項，例如競猜小組首名、冠軍等。以上各種項目裏，只要你猜中了正確的結果（例如哪隊取得冠軍），便肯定獲得彩金，而彩金亦肯定比投注本金多。（如果猜對了也要輸，誰會下注？）可是這種想法未必一定正確。例如競猜誰是「神射手」（世界盃所有比賽裏入球最多的球員）便是一例。在某些情況下，猜錯了要輸掉本金，但猜對了也贏不了！

　　為甚麼會這樣荒謬呢？這是因為「神射手」與世界盃冠軍不同：冠軍只有一個，但「神射手」卻可以超過一個（見註）。簡單來說，假如有兩名球員都射入五球，而沒有人射得六球或以上，這兩名球員都是「神射手」。如果「神射手」多於一個，香港賽馬會如何計算彩金？原來在這種情況下，投注本金會先除以神射手的數量才計算彩金。這就是買中了也要賠錢的關鍵。看看以下的現實例子：

　　準決賽結束後，荷蘭的史奈達 (Wesley Sneijder) 和西班牙的韋拿 （David Villa) 暫時以五球領先。撰寫本文時，韋拿的「神射手」賠率為 1.85 倍。假設現在某人以 1000 元本金下注韋拿為「神射手」。如果決賽和季軍戰都沒有球員入球，史奈達和韋拿將同為「神射手」。雖然這位投注者買中了，但他可得的「彩金」卻只有 1000 ÷ 2 × 1.85 = 925 元，輸了 75 元。如果同射得五球的球員有三個或四個，他將更倒楣，輸得更多。

　　這就是賭博世界常用的併頭名次規則 (dead heat rules)，每當勝出者比預期多時便適用。「併頭名次」在足球世界裏極少發生，只會偶然在賽馬世界出現，難怪這規則不易為人所知。

註：上文提及的「神射手」併頭只在香港賽馬會的賭博規則出現，與國際足協 (FIFA) 的神射手獎 (Golden Boot Award) 的決定規則不同。假如兩名球員射入相同的球數，助攻 (assist) 較多者名次較高；若助攻次數亦相同，總出場時間較短者名次較高。