最近無意中看到一篇名為「有朋自遠方來 -- 專訪蕭蔭堂教授」的文章，感覺像上了寶貴的一課。蕭教授在訪問的第三部分提到「準備做好的數學」的條件。我認為任何想學好數學，甚至希望日後（或現正）於大學攻讀數學的同學，也應一看。對於研究生來說，文中亦提及蕭教授對於研究生選校，選研究題目和做研究的一些建議。總的來說，這是我向大家極力推介的一篇好文章！
這是文章的 PDF 版：http://ocw.nctu.edu.tw/upload/vanalysis/friend/25104.pdf
註：如以上連結不能連結至該文章 ，可將連結轉貼至 browser 的網址列。
2008年1月29日 星期二
數學比賽日
經過多方的努力「磋商」，大家都認為在同一日內舉行三個數學比賽，是一件「美好」的事，令學校能夠「集中處理」出賽事項。最後，經過多方的「協調」，三個比賽「順利」在同一天舉行。
作為母校的MO trainer，雖然不用帶隊，也成功地在九點鐘從床上爬起，然後行去港島區HKMO的主場館。個人賽事完結後，環顧各校的師生，獨見一群六個人在打橋牌，心想：「除了QQ書院外還有哪間港島的學校會『夠腳』開橋牌？」於是走去一問，果然聽到一個在該校且曾在培正數學邀請賽取得佳績的學生名稱。刺探敵軍軍情，灰掉。QQ太強了。
然後趕到培正中學。培正數學邀請賽初賽一切安好。第一輪比賽結束後，母校其中一個學生拿著中二的試卷，指著最後的一題7分題問我：「條題目咁o既？」我吃了一驚，該不是出錯題目吧？問他有甚麼問題，他說：「咁難o既。」汗……
第二輪比賽完結後，收風看看賽果如何，高中組三個曾代表香港征戰無數的同學，全部都失手，分數分別是94、93和86。如此看來，高中組有人拿滿分獎的機會就不大了。
然後母校的中四學生打電話來，「質問」我為甚麼中四的試卷會有三條幾何的7分題。幾星期前我校對試卷時望著這份中四卷，我也想著：「唔，佢（指該學生）死梗。」之後我跟他說：「果D幾何題唔係我出，份卷亦都唔係我排o架。你想搵人尋仇，我可以俾負責整呢份卷果兩個人o既個人資料俾你。」
作為母校的MO trainer，雖然不用帶隊，也成功地在九點鐘從床上爬起，然後行去港島區HKMO的主場館。個人賽事完結後，環顧各校的師生，獨見一群六個人在打橋牌，心想：「除了QQ書院外還有哪間港島的學校會『夠腳』開橋牌？」於是走去一問，果然聽到一個在該校且曾在培正數學邀請賽取得佳績的學生名稱。刺探敵軍軍情，灰掉。QQ太強了。
然後趕到培正中學。培正數學邀請賽初賽一切安好。第一輪比賽結束後，母校其中一個學生拿著中二的試卷，指著最後的一題7分題問我：「條題目咁o既？」我吃了一驚，該不是出錯題目吧？問他有甚麼問題，他說：「咁難o既。」汗……
第二輪比賽完結後，收風看看賽果如何，高中組三個曾代表香港征戰無數的同學，全部都失手，分數分別是94、93和86。如此看來，高中組有人拿滿分獎的機會就不大了。
然後母校的中四學生打電話來，「質問」我為甚麼中四的試卷會有三條幾何的7分題。幾星期前我校對試卷時望著這份中四卷，我也想著：「唔，佢（指該學生）死梗。」之後我跟他說：「果D幾何題唔係我出，份卷亦都唔係我排o架。你想搵人尋仇，我可以俾負責整呢份卷果兩個人o既個人資料俾你。」
2008年1月27日 星期日
人大選舉結果 -- 後記
請先讀人大選舉結果一文。
當我第二天再與官方結果比較時，發現我對「某個形如 DCBA 的票數寫成 DCAB，或是某個形如 CBA 的票數寫成 CAB，其中 B = A + 1，並假設名次正確」的猜想其實是正確的，只是自己「走漏眼」，因為除了麥海華外，劉佩瓊的得票也符合以上條件，事實上劉佩瓊的得票應是 978 而非 987。
這樣的話，有效票的總數為 1138，而得票最高的范徐麗泰的得票率高達 98.24%，非常誇張。當然，這樣高的得票率是拜投票制度所賜的吧。
當我第二天再與官方結果比較時，發現我對「某個形如 DCBA 的票數寫成 DCAB，或是某個形如 CBA 的票數寫成 CAB，其中 B = A + 1，並假設名次正確」的猜想其實是正確的，只是自己「走漏眼」，因為除了麥海華外，劉佩瓊的得票也符合以上條件，事實上劉佩瓊的得票應是 978 而非 987。
這樣的話，有效票的總數為 1138，而得票最高的范徐麗泰的得票率高達 98.24%，非常誇張。當然，這樣高的得票率是拜投票制度所賜的吧。
2008年1月25日 星期五
人大選舉結果
請先讀港區人大代表選舉一文。
港區人大選舉今天舉行。以下選舉結果摘自明報即時新聞網：
入圍名次\參選人\票數\
1\范徐麗泰\1118\
2\史美倫\1108\
3\馬逢國\1092\
4\譚惠珠\1088\
5\霍震寰\1087\
6\王如登\1079\
7\吳清輝\1073\
8\王英偉\1069\
9\陳智思\1062\
9\鄭耀棠\1062\
11\楊耀忠\1061\
12\李宗德\1060\
13\費斐\1051\
14\梁秉中\1049\
15\吳亮星\1047\
16\葉國謙\1037\
17\王敏剛\1036\
18\林順潮\1028\
18\溫嘉旋\1028\
20\羅范椒芬\1027\
21\廖長江\1022\
21\劉柔芬\1022\
23\袁武\1003\
24\劉佩瓊\987\
25\劉健儀\965\
26\黃玉山\959\
27\羅叔清\953\
28\盧瑞安\920\
29\曹宏威\918\
30\高寶齡\889\
31\蔡素玉\876\
32\田北辰\867\
32\黃國健\867\
34\何鐘泰\832\
35\馬豪輝\827\
36\雷添良\821\
37\洪克協\818\
38\黃宜弘\815\
39\朱幼麟\801\
40\梁富華\761\
41\馮檢基\266\
42\莊陳有\232\
43\陳普芬\223\
44\麥海華\187\
45\涂謹申\170\
46\張秀儀\160\
47\陳財喜\153\
48\孫龍\138\
49\林國雄\134\
50\蕭思江\129\
大家覺得選舉結果有何特別之處？看下去之前，不妨先停下來想想。
我最少發現到兩處很特別的地方。
第一，50 位候選人的得票總和不是 36 的倍數。然而，根據選舉規則，每張選票必須選剛好 36 名候選人才有效。因此，可能性只有兩個：要不就是明報的報導有誤，要不就是點票過程出現問題。
（特別地，由於以上 50 個票數之和除以 36 時餘 9，因此很可能是某個形如 DCBA 的票數寫成 DCAB，或是某個形如 CBA 的票數寫成 CAB，其中 B = A + 1。再觀察以上 50 個票數，再加上名次正確的假設，很可能是麥海華得票 178 而非 187？但另一些媒體亦有報導麥海華得 187 票，因此這個猜想成立的可能性不大。這實在十分詭秘。）
第二，政界一直盛傳，是次選舉中「西環」方面有一張 40 人的推薦名單（例如可以參考這篇報導）。大家看看排第 40 和第 41 的候選人的得票，是否有些甚麼領會？
港區人大選舉今天舉行。以下選舉結果摘自明報即時新聞網：
入圍名次\參選人\票數\
1\范徐麗泰\1118\
2\史美倫\1108\
3\馬逢國\1092\
4\譚惠珠\1088\
5\霍震寰\1087\
6\王如登\1079\
7\吳清輝\1073\
8\王英偉\1069\
9\陳智思\1062\
9\鄭耀棠\1062\
11\楊耀忠\1061\
12\李宗德\1060\
13\費斐\1051\
14\梁秉中\1049\
15\吳亮星\1047\
16\葉國謙\1037\
17\王敏剛\1036\
18\林順潮\1028\
18\溫嘉旋\1028\
20\羅范椒芬\1027\
21\廖長江\1022\
21\劉柔芬\1022\
23\袁武\1003\
24\劉佩瓊\987\
25\劉健儀\965\
26\黃玉山\959\
27\羅叔清\953\
28\盧瑞安\920\
29\曹宏威\918\
30\高寶齡\889\
31\蔡素玉\876\
32\田北辰\867\
32\黃國健\867\
34\何鐘泰\832\
35\馬豪輝\827\
36\雷添良\821\
37\洪克協\818\
38\黃宜弘\815\
39\朱幼麟\801\
40\梁富華\761\
41\馮檢基\266\
42\莊陳有\232\
43\陳普芬\223\
44\麥海華\187\
45\涂謹申\170\
46\張秀儀\160\
47\陳財喜\153\
48\孫龍\138\
49\林國雄\134\
50\蕭思江\129\
大家覺得選舉結果有何特別之處？看下去之前，不妨先停下來想想。
我最少發現到兩處很特別的地方。
第一，50 位候選人的得票總和不是 36 的倍數。然而，根據選舉規則，每張選票必須選剛好 36 名候選人才有效。因此，可能性只有兩個：要不就是明報的報導有誤，要不就是點票過程出現問題。
（特別地，由於以上 50 個票數之和除以 36 時餘 9，因此很可能是某個形如 DCBA 的票數寫成 DCAB，或是某個形如 CBA 的票數寫成 CAB，其中 B = A + 1。再觀察以上 50 個票數，再加上名次正確的假設，很可能是麥海華得票 178 而非 187？但另一些媒體亦有報導麥海華得 187 票，因此這個猜想成立的可能性不大。這實在十分詭秘。）
第二，政界一直盛傳，是次選舉中「西環」方面有一張 40 人的推薦名單（例如可以參考這篇報導）。大家看看排第 40 和第 41 的候選人的得票，是否有些甚麼領會？
2008年1月23日 星期三
數學潮流
「流行文化」是一件「來得快、去得快」的東西。有些東西可以忽然興起，也可以忽然沒落。
在數學界也有「流行文化」。只要觀察一下對數學比較有興趣的中學生閒時的玩意便可略知一二。
一兩年前，在中學生之間最流行的數學玩意是「數獨」。不少學生在課餘、甚至在課堂期間，都沉迷在那 9x9 的方格表中。不單是學生，在街上也可以見到男女老幼在玩報章上的數獨遊戲，甚至是醉心於數獨書籍或數獨機中。
然而，潮流來得快也去得快，近來數獨的熱潮已經明顯減退了。在中學生之間「新興」的玩意變成了扭計骰。
把扭計骰說成「新興」的玩意其實有點諷刺。扭計骰於 1980 年代曾經風糜一時，當年有不少人為了征服它而廢寢忘餐。與其說它是「新興」的玩意，倒不如說它是個「復興」的玩意。最近，不少中學生手上都有一個扭計骰，當中又以 4x4x4（「第一代」的扭計骰主要是 3x3x3 的）扭計骰最為「新興」。
數獨和扭計骰某程度上都是「益智」的玩意，這點相信不會有甚麼人反對。兩種遊戲都有助邏輯思考的訓練，對學習數學以至個人成長都有所裨益。
然而，沉迷於這兩種遊戲卻不見得可以把這裨益擴大。以數獨為例，其所牽涉的邏輯思考不外乎是以「消去不可能」的方法找出某格應該填甚麼數字，間中在不確定的情況下會先作假設，如果「撞板」則回頭再試其他可能。在這兩個思考模式的框架下，數獨遊戲的變化其實不大。
至於扭計骰方面，遊戲本身牽涉很有深度的數學，主要是大學程度的群論（group theory）。但一般中學生主要是「學會了扭法」後比試速度為主，因此也較難從有關的數學分析中擴闊自己的眼界。
當然，「有心」的中學生其實也可以作進一步的探究。例如：在數獨遊戲中，甚麼情況下可以保證有唯一解？最少填了多少個數字可以導致無解？在扭計骰遊戲中，有沒有方法計算還原所需的最少步數？能否以一套有系統的數學方法來記錄移動過程？
如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！
在數學界也有「流行文化」。只要觀察一下對數學比較有興趣的中學生閒時的玩意便可略知一二。
一兩年前，在中學生之間最流行的數學玩意是「數獨」。不少學生在課餘、甚至在課堂期間，都沉迷在那 9x9 的方格表中。不單是學生，在街上也可以見到男女老幼在玩報章上的數獨遊戲，甚至是醉心於數獨書籍或數獨機中。
然而，潮流來得快也去得快，近來數獨的熱潮已經明顯減退了。在中學生之間「新興」的玩意變成了扭計骰。
把扭計骰說成「新興」的玩意其實有點諷刺。扭計骰於 1980 年代曾經風糜一時，當年有不少人為了征服它而廢寢忘餐。與其說它是「新興」的玩意，倒不如說它是個「復興」的玩意。最近，不少中學生手上都有一個扭計骰，當中又以 4x4x4（「第一代」的扭計骰主要是 3x3x3 的）扭計骰最為「新興」。
數獨和扭計骰某程度上都是「益智」的玩意，這點相信不會有甚麼人反對。兩種遊戲都有助邏輯思考的訓練，對學習數學以至個人成長都有所裨益。
然而，沉迷於這兩種遊戲卻不見得可以把這裨益擴大。以數獨為例，其所牽涉的邏輯思考不外乎是以「消去不可能」的方法找出某格應該填甚麼數字，間中在不確定的情況下會先作假設，如果「撞板」則回頭再試其他可能。在這兩個思考模式的框架下，數獨遊戲的變化其實不大。
至於扭計骰方面，遊戲本身牽涉很有深度的數學，主要是大學程度的群論（group theory）。但一般中學生主要是「學會了扭法」後比試速度為主，因此也較難從有關的數學分析中擴闊自己的眼界。
當然，「有心」的中學生其實也可以作進一步的探究。例如：在數獨遊戲中，甚麼情況下可以保證有唯一解？最少填了多少個數字可以導致無解？在扭計骰遊戲中，有沒有方法計算還原所需的最少步數？能否以一套有系統的數學方法來記錄移動過程？
如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！
2008年1月18日 星期五
港區人大代表選舉
港區人大代表選舉將於 1 月 25 日（星期五）舉行。雖然投票方面大概不會有你我的份兒，但是次選舉的囑目性可謂歷來最高，其中一個原因當然是候選人當中有不少重量級人馬，例如前廉政專員羅范椒芬和立法會主席范徐麗泰等吧。
是次選舉共有 50 名候選人，角逐 36 個港區人大代表席位。每位選民可投 36 票，這種制度稱為「多議席全票制」，香港在 1997 年的臨時立法會選舉、1991 年的立法局地區直選和 1991 年及以前的區議會選舉中都採用過這種制度。
這種制度的最明顯弊端，就是些微多數可能會取得全部議席。舉例說，如果有 72 人角逐 36 個席位，而 72 人當中有 36 人屬「左派」、36 人屬「右派」，而「左派」和「右派」的支持率分別為 51% 和 49% 時，則在選民只會一面倒支持其中一派候選人的假設下， 36 位「左派」的候選人將全取 36 席。
是次選舉中另一個較為罕見的規則是選民必須選足 36 位候選人，否則有關選票作廢。這規則最明顯的影響是選民有可能因為一時的失誤而斷送自己「神聖的 36 票」。然而，除此之外，這規則亦帶來了另一個現象，一般稱為「垃圾桶效應」。
所謂「垃圾桶效應」，是指一些選民心目中支持的候選人不足 36 人，但礙於遊戲規則又必須選足 36 人，結果被迫在自己不支持的候選人中作出選擇。而他們選擇時的考慮往往不是自己不支持的候選人當中哪些較好，而是傾向選一些最不可能當選的候選人，因為這樣的話就不怕影響自己支持的候選人的當選機會了。
然而，當很多選民都這樣做時，會否造就「垃圾桶」內的候選人爆冷出線？大家拭目以待。
是次選舉共有 50 名候選人，角逐 36 個港區人大代表席位。每位選民可投 36 票，這種制度稱為「多議席全票制」，香港在 1997 年的臨時立法會選舉、1991 年的立法局地區直選和 1991 年及以前的區議會選舉中都採用過這種制度。
這種制度的最明顯弊端，就是些微多數可能會取得全部議席。舉例說，如果有 72 人角逐 36 個席位，而 72 人當中有 36 人屬「左派」、36 人屬「右派」，而「左派」和「右派」的支持率分別為 51% 和 49% 時，則在選民只會一面倒支持其中一派候選人的假設下， 36 位「左派」的候選人將全取 36 席。
是次選舉中另一個較為罕見的規則是選民必須選足 36 位候選人，否則有關選票作廢。這規則最明顯的影響是選民有可能因為一時的失誤而斷送自己「神聖的 36 票」。然而，除此之外，這規則亦帶來了另一個現象，一般稱為「垃圾桶效應」。
所謂「垃圾桶效應」，是指一些選民心目中支持的候選人不足 36 人，但礙於遊戲規則又必須選足 36 人，結果被迫在自己不支持的候選人中作出選擇。而他們選擇時的考慮往往不是自己不支持的候選人當中哪些較好，而是傾向選一些最不可能當選的候選人，因為這樣的話就不怕影響自己支持的候選人的當選機會了。
然而，當很多選民都這樣做時，會否造就「垃圾桶」內的候選人爆冷出線？大家拭目以待。
2008年1月12日 星期六
圓周率的近似值
身邊有一些人很喜歡背圓周率的近似值，就是背到小數後幾十個位吧。理論上我也可宣稱背到，反正每次我聽人背，聽到第十個位後已經不可辨偽。只要我對一些未背過的人說了頭十幾個數字後，然後亂說一堆數字，那應該可以瞞天過海的了。
我會背的是圓周率的兩個有理數近似值，22/7和355/113。最近看國內一套叫《好玩的數學》系列，一系列十本書，每本書的前言都是張景中教授所寫的，其中有一段就用了一個巧妙的方法去證明若 q/p 是比 355 /113 更接近圓周率的話， p 的最少值是 16587。
已知 pi =3.1415926535897，故可得 | 355 / 113 -pi| < 0.00000026677。如果 q/p 比 355/113更接近 pi 的話，可得 | 355/113 - q/p| < 2 x 0.00000026677，亦即 |355p - 113q | / 113p < 2 x 0.00000026677。
因為 q/p 並不等於 355/113，故 |355p - 113q|最少為 1 ，故 1 / 113p < 2 x 0.00000026677。由此推出 p > 16586。
證明了 p 最少為 16587後，大家更關心的問題應該是 p 最小的可能值是甚麼。我在這裏不說了，懂計算機編程的人其實可以自己編程找找。
我會背的是圓周率的兩個有理數近似值，22/7和355/113。最近看國內一套叫《好玩的數學》系列，一系列十本書，每本書的前言都是張景中教授所寫的，其中有一段就用了一個巧妙的方法去證明若 q/p 是比 355 /113 更接近圓周率的話， p 的最少值是 16587。
已知 pi =3.1415926535897，故可得 | 355 / 113 -pi| < 0.00000026677。如果 q/p 比 355/113更接近 pi 的話，可得 | 355/113 - q/p| < 2 x 0.00000026677，亦即 |355p - 113q | / 113p < 2 x 0.00000026677。
因為 q/p 並不等於 355/113，故 |355p - 113q|最少為 1 ，故 1 / 113p < 2 x 0.00000026677。由此推出 p > 16586。
證明了 p 最少為 16587後，大家更關心的問題應該是 p 最小的可能值是甚麼。我在這裏不說了，懂計算機編程的人其實可以自己編程找找。
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