2008年1月12日 星期六

圓周率的近似值

身邊有一些人很喜歡背圓周率的近似值,就是背到小數後幾十個位吧。理論上我也可宣稱背到,反正每次我聽人背,聽到第十個位後已經不可辨偽。只要我對一些未背過的人說了頭十幾個數字後,然後亂說一堆數字,那應該可以瞞天過海的了。

我會背的是圓周率的兩個有理數近似值,22/7和355/113。最近看國內一套叫《好玩的數學》系列,一系列十本書,每本書的前言都是張景中教授所寫的,其中有一段就用了一個巧妙的方法去證明若 q/p 是比 355 /113 更接近圓周率的話, p 的最少值是 16587。

已知 pi =3.1415926535897,故可得 | 355 / 113 -pi| < 0.00000026677。如果 q/p 比 355/113更接近 pi 的話,可得 | 355/113 - q/p| < 2 x 0.00000026677,亦即 |355p - 113q | / 113p < 2 x 0.00000026677。

因為 q/p 並不等於 355/113,故 |355p - 113q|最少為 1 ,故 1 / 113p < 2 x 0.00000026677。由此推出 p > 16586。

證明了 p 最少為 16587後,大家更關心的問題應該是 p 最小的可能值是甚麼。我在這裏不說了,懂計算機編程的人其實可以自己編程找找。

3 則留言:

tobywhcheng 提到...

小弟沒有上過過任何數值分析的課,對編程也一竅不通,但兩年前曾用一種迭代法(或者應該叫亂撞0岩D)和一部計數機,找到 pi- 52163/16604 < 355/113 - pi, 敢問最少的p是否為16604? 小弟用同樣方法,亦求得pi< 104348/33215 < 355/113. 以張景中教授的方法亦得證這個分數為「更密的率」.

Marco_Dick 提到...

剛剛才發現你的留言,sorry。

無錯,355/113後最接近Pi的有理值就是52163/16604。你可以在這裏分享一下你怎樣用迭代法找出這個近似值哦。

tobywhcheng 提到...

我把方法寫成了一篇xanga entry,請參見
http://weblog.xanga.com/tobywhc/640999304/pi303403692436817.html