第一屆（個人賽中三組第 19 題、中四組第 20 題）
董先生參加某國家的總統選舉，得票率（準確至小數點後一個位）為 66.6%。問董先生最少得到多少票？
本題是另一道看下去不難，卻很有深度的題目。表面上它只是一道百分率和近似值的問題，而要找到「66.6%」的例子亦很容易：666/1000 和 333/500 就是最簡單的情況。可是如何找出董先生的得票的最小值呢？
如果大家對數字有一定的敏感度的話，應該會發現 66.6% 和三分之二很接近，但 2/3 四捨五入至小數點後一位的話卻是 66.7%，跟題目不符。因此，董先生的得票應該「比三分之二少一點點」。這基本上也是大會題解背後的思路，大家不妨試試。
這道題是罕有沒有參賽者答對的題目之一。當然，從比賽的角度看這並非好事。然而題目事後卻引起了廣泛討論，有數學老師更想出了一些另類的解法，當中甚至跟表面看來毫不相干的 Pick's formula 扯上關係。這實在是數學其中一個最可愛的地方。
2007年9月30日 星期日
2007年9月22日 星期六
2007年9月18日 星期二
培正數學邀請賽：經典重溫（一）
培正數學邀請賽已經舉辦六屆，六年來出現過不少有趣的題目，「培正數學邀請賽：經典重溫」系列會為大家重溫一下這些題目。
第一屆（個人賽中一組第 14 題、中二組第 9 題）
求最小的質數 p，使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。
本題看下去不難，一個很自然的想法是代入 p = 2、3、5、7、……，看看有甚麼發現。可是即使很有耐性地試到 100 以上，似乎怎樣也找不到 p 使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。若再細心觀察一下，不難發現（也不難證明）除 p = 3 外，任何的質數 p 皆會使得 2002 - p 或 2002 + p 的其中一個是 3 的倍數。當年的一名中一組參賽者，就以此在答題紙上長篇大論，指出題目有誤，因為他可以證明這樣的 p 根本不存在。當然，題目其實是沒有錯的（大家是否已經想到答案呢？），但那位中一的參賽者能寫出這樣的「證明」也殊不簡單，而他最後亦成為得獎者之一呢！
第一屆（個人賽中一組第 14 題、中二組第 9 題）
求最小的質數 p，使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。
本題看下去不難，一個很自然的想法是代入 p = 2、3、5、7、……，看看有甚麼發現。可是即使很有耐性地試到 100 以上，似乎怎樣也找不到 p 使得 2002 - p 和 2002 + p 均為質數。若再細心觀察一下，不難發現（也不難證明）除 p = 3 外，任何的質數 p 皆會使得 2002 - p 或 2002 + p 的其中一個是 3 的倍數。當年的一名中一組參賽者，就以此在答題紙上長篇大論，指出題目有誤，因為他可以證明這樣的 p 根本不存在。當然，題目其實是沒有錯的（大家是否已經想到答案呢？），但那位中一的參賽者能寫出這樣的「證明」也殊不簡單，而他最後亦成為得獎者之一呢！
2007年9月14日 星期五
Card Trick Solution
開課後，很多莫明其妙的事情接腫而來，弄至一星期後才能更新這裏。
利用這個小特點，就可以將原本的二選一變成「一一對應」了。
說一說上次那個"trick"的解答吧。正所謂「無氈無扇，神仙難變」，「使者」和「神秘通天眼」不會有任何接觸，能夠令「神秘通天眼」猜到底牌的，當然就是「使者」放在桌上的四張牌。
一副紙牌有52隻。有玩過「鋤大D」或「橋牌」都應該知道不難為這52隻牌定一個次序（例如先比較數字，A > K > Q > J > 10 > 9 > ... > 2；同數字的就比較花，桃花 > 紅心 > 葵扇 > 磚）。
撇除在桌上的4隻牌後，餘下48隻。用這4隻牌做一個排列（permutation），可以有24個可能性，然後我們可以根據下表，知道「底牌」只有兩個可能（下圖左列的 4 代表4隻牌當中最大的牌； 1 代表4隻牌當中最小的牌）：
| 4隻牌的排序 | 代表「底牌」是餘下48張中的第n張牌。 |
|---|---|
| 1234 | 1,2 |
| 1243 | 3,4 |
| 1324 | 5,6 |
| 1342 | 7,8 |
| 1423 | 9,10 |
| 1432 | 11,12 |
| 2134 | 13,14 |
| 2143 | 15,16 |
| 2314 | 17,18 |
| 2341 | 19,20 |
| 2413 | 21,22 |
| 2431 | 23,24 |
| 3124 | 25,26 |
| 3142 | 27,28 |
| 3214 | 29,30 |
| 3241 | 31,32 |
| 3412 | 33,34 |
| 3421 | 35,36 |
| 4123 | 37,38 |
| 4132 | 39,40 |
| 4213 | 41,42 |
| 4231 | 43,44 |
| 4312 | 45,46 |
| 4321 | 47,48 |
就是這樣，「神秘通天眼」就可以根據「使者」在桌上的擺陣，在兩次內猜出「底牌」了。
用數學的語言，我們利用了 |P4| = 24和餘下48隻牌的兩個數字，構成了一個 1-to-2 map。
後來，鄭教授的高足們更用了紙牌一個小特點，令他們有很大機會一次就能命中。這個小特點就是，52隻牌當中有不少牌打直擺和倒轉擺的花款是不同的。舉個例子吧（磚7）：
 |  |
2007年9月7日 星期五
A Wonderful Card Trick
科大的理學院院長鄭紹遠教授不時教授學生玩一些紙牌遊戲，英文名就叫Card Trick。自己未能親身學習，不過倒認識了不少科大的同學，都有玩這些Card Trick。這些同學曾經將鄭教授教的一個Card Trick改良，變成了一個在科大傳頌一時的「魔術」。
「魔術師」有兩個人，我們叫他們做「使者」和「神秘通天眼」好了。一開始「神秘通天眼」會走到老遠去，而「觀眾」在Poker Cards的五十二隻牌中隨機抽五隻出來。然後觀眾可以從這五隻中任意抽取一隻藏起。「使者」把餘下四隻牌放在桌子上，然後便走掉。「神秘通天眼」這時回來，望一望那四隻牌，便跟「觀眾」說：「我猜兩次就可以知道你的牌了。」
期間「使者」和「神秘通天眼」是不可以有任何接觸的（不能對話，也不能夠望到對方）究竟兩個「魔術師」是怎樣做到的呢？
「魔術師」有兩個人，我們叫他們做「使者」和「神秘通天眼」好了。一開始「神秘通天眼」會走到老遠去，而「觀眾」在Poker Cards的五十二隻牌中隨機抽五隻出來。然後觀眾可以從這五隻中任意抽取一隻藏起。「使者」把餘下四隻牌放在桌子上，然後便走掉。「神秘通天眼」這時回來，望一望那四隻牌，便跟「觀眾」說：「我猜兩次就可以知道你的牌了。」
期間「使者」和「神秘通天眼」是不可以有任何接觸的（不能對話，也不能夠望到對方）究竟兩個「魔術師」是怎樣做到的呢？
2007年9月3日 星期一
Pythagoras' Theorem---Logic in F2 Math
在初中階段，要證明邊長分別是3、4和5 的三角形是一個直角三角形，我們可以這樣說：「由於32 +42 = 52，所以根據畢氏定理的逆定理，它一個直角三角形。」
那麼，怎樣證明邊長分別是2、3和4 的三角形 XYZ 不是一個直角三角形呢？以下是一般教科書的說法：「由於22 +32 不等於 42，所以XYZ不是一個直角三角形。」
大家留意，當中省略了根據什麼。是否也是根據畢氏定理的逆定理？
非也！是根據畢氏定理 ！
我們可用反證法作出證明：「假設XYZ一個直角三角形，則22 +32 = 42 (畢氏定理)。矛盾。」
一般來說，根據一個常用的邏輯論證方法：contrapositivity, 「若ABC一個直角三角形，則a2 +b2 =c2 」與「若a2 +b2 不等於c2 ，則ABC不是一個直角三角形」這兩句statement是等價的。
(contrapositivity是指「若p則q 」與 「若~q則~p」 是等價的，例如「若下雨我便帶傘，但我沒帶傘，所以沒有下雨。)。
那麼，怎樣證明邊長分別是2、3和4 的三角形 XYZ 不是一個直角三角形呢？以下是一般教科書的說法：「由於22 +32 不等於 42，所以XYZ不是一個直角三角形。」
大家留意，當中省略了根據什麼。是否也是根據畢氏定理的逆定理？
非也！是根據畢氏定理 ！
我們可用反證法作出證明：「假設XYZ一個直角三角形，則22 +32 = 42 (畢氏定理)。矛盾。」
一般來說，根據一個常用的邏輯論證方法：contrapositivity, 「若ABC一個直角三角形，則a2 +b2 =c2 」與「若a2 +b2 不等於c2 ，則ABC不是一個直角三角形」這兩句statement是等價的。
(contrapositivity是指「若p則q 」與 「若~q則~p」 是等價的，例如「若下雨我便帶傘，但我沒帶傘，所以沒有下雨。)。
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