2007年9月3日 星期一

Pythagoras' Theorem---Logic in F2 Math

在初中階段,要證明邊長分別是3、4和5 的三角形是一個直角三角形,我們可以這樣說:「由於32 +42 = 52,所以根據畢氏定理的逆定理,它一個直角三角形。」

那麼,怎樣證明邊長分別是2、3和4 的三角形 XYZ 不是一個直角三角形呢?以下是一般教科書的說法:「由於22 +32 不等於 42,所以XYZ不是一個直角三角形。」
大家留意,當中省略了根據什麼。是否也是根據畢氏定理的逆定理


非也!是根據畢氏定理


我們可用反證法作出證明:「假設XYZ一個直角三角形,則22 +32 = 42 (畢氏定理)。矛盾。」

一般來說,根據一個常用的邏輯論證方法:contrapositivity, 「若ABC一個直角三角形,則a2 +b2 =c2 」與「若a2 +b2 不等於c2 ,則ABC不是一個直角三角形」這兩句statement是等價的。
(contrapositivity是指「若p則q 」與 「若~q則~p」 是等價的,例如「若下雨我便帶傘,但我沒帶傘,所以沒有下雨。)。

3 則留言:

Andy Chan 提到...

第二段的「『由於3^2 +4^2 不等於 5^2,所以xyz不是一個直角三角形。』」有誤,3、4 和 5 應分別為 2、3 和 4。

zyft 提到...

不知這篇post的目標讀者是甚麼人?
如果不只是熱中數學的人,能添加多些相關連結會更好!


數學筆記:邏輯(英文)

反證法例子:
開方2是無理數
質數有無限個
Cantor's diagonal argument
反證法的例題(澳門隊訓練資料)

Marco_Dick 提到...

Andy: 已更改。

zyft: 你舉的反證法例子都是典型而簡潔的例子,非常感謝你的提供呢。歡迎你多來。