Ideal Map (Part 1)

How is a map which is a flat sheet of paper representing the actual curved surface of the Earth?

For example, how can we tell the distance between HK and Beijing from a world map? When we draw a line on the map joining HK and Beijing, what is the path that is traced on the globe? If 2 straight line segments have the same length on the map, must the 2 corresponding paths have the same length on the globe?

Actually, the above problems depend on how the map was created.

When we create a map of the globe (or some portion of the globe), we might want our map to possess some nice properties such as:

1. The map should be planar (or flat), so that it is more convenient for us to laid it down on a table and draw on it.
2. Any “straight line segment”* on the globe should correspond to a straight line segment on the planar map, so that it is easy for us to trace a shortest path between any 2 points (by using a ruler to draw a straight line segment on the map for instance).
3. The shape of any region on the globe is preserved on the map. For example, an equiangular triangle on the map should correspond to an equiangular triangle** on the globe.
4. The map has a fixed scale, which means the lengths of any 2 paths on the globe is decreased by the same factor on the corresponding paths on the map.

Here comes a problem which intrigued many Navigators and Mathematicians hundreds of years ago, and is central in Cartography.

Can we create a map which possesses one or more of the above attributes?

Before we reveal the answers, please think about it first!

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* For simplicity, suppose the globe is a perfect sphere. We know that a sphere is curved, so what is a “straight line” on a sphere? Imagine we’re walking “straight” on large sphere, our path actually traces an arc of a great circle (which is a circle which has the same center as the sphere it is lying on). It can be proved, by undergraduate calculus, that a shortest path between 2 points on a sphere is the minor arc of a great circle. Hence, a “straight line segment” on a sphere is actually an arc of a great circle.

**A triangle on a sphere is a region on the sphere which is bounded by 3 straight lines (i.e. 3 arcs of great circles) on the sphere. An angle at a point P on the sphere formed by 2 great arcs meeting at P is the angle between the tangents of the 2 arcs at P.

A Quote

最近看了一篇文章Enumerative And Algebraic Combinatorics，寫得很不錯，在此推介（不過我想比較適合已經學過combinatorics的人）。

在此quote其中一段，用了現實中的例子說明了Burnside Lemma：

Suppose that there is a picnic consisting of many families and we want to count the number of families. One way would be to define some "canonical head" of each family, say "mother", and count the number of mothers. But some daughters look like mothers, so this is not so easy. On the other hand, you cannot just count everybody , since then you would count each family several times. The problem is that "naive" counting of people is giving a credit of 1 to each person, and this is inappropriate if we are trying to count families. If instead we were to ask each person "How big is your family?" and add to our count the reciprocal of that number, then the calculation would come out just right, since a family of size k would get a credit of 1/k for each of its members, and would therefore have been counted exactly once by the end.

Going back to counting orbits, we see by the same reasoning that their number is \sum_{a \in A} 1 / | Orbit(a) | ......

開幕半年記

不經不覺，手記成立已是半年。短短半年，手記的瀏覽者遍及中國（特別是很多來自台灣省的讀者）、南韓、美國、加拿大、德國、英國和菲律賓，台灣省成功大學的一名教授在其網頁上放了本手記的連結，一些台灣人都透過這個連結進入本手記，特此向該教授致謝。而香港有數間中學在其網站或內聯網亦放了本手記的連結，亦特此致謝。

手記是數學資料庫的一個extension，所以也說說數學資料庫的情況。其實現在若你在香港的Google輸入「數學」兩字，數學資料庫的網站是排第一的！其實早在2004年時數學資料庫也曾入選「十大健康網站選舉2004」候選名單的最後五十強（還是三十強？不記得了。），但最後並未能入選最後十強。

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上一篇文章很高興見到Koopa和網友singmay在留言介紹了一些相關的數學資料。手記開張了大約半年，其實曾經在手記寫過文章的有六個人。雖然本手記的更新尚算充足，但覆蓋的數學範圍卻因為只有六個人的喜好（而且經常更新的幾個人的喜好範圍是頗相近的），其實並不廣泛。因此，各界友好的透過留言的參與，本人視為手記構造上不可或缺的一部分。若各位網友想在本手記分享一些關於數學的文章，歡迎大家發電郵到 mathdb@gmail.com 。

在網誌世界，每一個人都能方便地將自己的說話講出來，只要你敢貼出來，你的文章就會可以被很多人看。以往的舊媒體中，你要發表意見，總是要經過一大輪篩選，就算你有point，都可能因為你無名氣、你的文章太「專」而大眾未能明白、你的文章沒有selling point等因素，而不能被大眾看到。數學因為種種不明的原因（用我最近的口頭禪，就是"for unknown reasons"），被「冠」以一些如「高深」、「難明」、「抽象」、「無咩用」等形容詞，而部分學生甚至對數學產生一種厭惡性的抗拒。而作為一個數學人，亦總覺得自己是社會的小眾；既然是小眾，說的話又「高深」又「抽象」，在舊媒體中鮮見關於數學的文章可謂理所當然。

但新媒體出現了，數學資料庫作為香港極少數的數學網站，有義務令我們這些「小眾」的說話冒出頭來，去洗脫數學在很多人心中的負面形象，讓更多認識到數學是有趣和有用的。幾個月前我跟數學資料庫的主席Louis閒聊，我們就曾經形容過我們這一班數學人是在「搞革命」。能否一呼百應，我不知道；但我想黃家駒的一句：「我地就好似背住把古劍咁」，正好描述我的心情。

革命尚未成功，同志仍需努力。

三角不等式

三角不等式指出，在一個三角形中，任何兩邊的長度之和均大於第三條邊，即若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則必有 a+b>c、b+c>a 和 c+a>b。

直觀地說，三角不等式所說的其實是「連起兩點的直線是兩點之間的最短距離」。這件事大家都知道，而且動物也知道：一隻在 A 點的動物看到 B 點有食物的話，牠會以直線從 A 點走到 B 點，不會繞圈子的。

三角不等式及其變型在數學上有很多應用，例如：

• 以三角不等式證明其他不等式，例如：若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則可證明
  

a²b(a-b) + b²c(b-c) + c²a(c-a) ≥ 0

• 對任意複數 z 和 w，我們有
  

|z+w| ≦ |z|+|w| 和 |z-w| ≧ ||z|-|w||

• 若 d(a,b) 表示兩個位數相同的整數 a 和 b 有多少個數字不同（例如：d(12,34)=2；d(12345,13446)=3 等等），則對任意三個位數相同的整數 x、y、z 皆有

d(x,y) ≦ d(x,z) + d(y,z)

在日常生活中，我們也有類似的概念：如果兩人分別坐計程車，一人從尖沙咀直接到旺角、另一人先從尖沙咀到紅磡再從紅磡到旺角的話，前者的車費應該較後者便宜。如果以 d 表示距離或車費，則這可寫成

d(尖沙咀,旺角) ≦ d(尖沙咀,紅磡) + d(紅磡,旺角)。

可是很奇怪，現時的港鐵車費並不滿足三角不等式，而且有很多不滿足三角不等式的例子，以下列出幾個：

車票種類	路線 1	路線 1 車費 （港元）	路線 2	路線 2 車費 （港元）
成人八達通	尖東 → 羅湖	34.8	尖東 → 上水 上水 → 羅湖	10.8 + 18.8 = 29.6
學生八達通	馬鞍山 → 尖沙咀	10.4	馬鞍山 → 佐敦 佐敦 → 尖沙咀	7.7 + 2.3 = 10.0
成人八達通	元朗 → 荃灣	15.9	元朗 → 荃灣西 荃灣西 → 荃灣	10.7 + 3.6 = 14.3
學生八達通	屯門 → 落馬洲	44.8	屯門 → 粉嶺 粉嶺 → 落馬洲	17.3 + 18.8 = 36.1
成人八達通	屯門泳池 → 濕地公園	5.8	屯門泳池 → 屯門 屯門 → 兆康 兆康 → 濕地公園	0.0* + 3.7 + 0.0* = 3.7

* 輕鐵與西鐵線之轉乘優惠

也就是說，假如你持成人八達通從尖東到羅湖的話，本來是不用轉車的，可是如果在上水「轉車」的話，即可省回 5.2 元車費！據觀察，有些「經驗豐富」的人甚至不用「轉車」，他們會準確地計算閘機的位置，列車一到達上水站便出閘，再立即以另一張八達通咭入閘（必須使用另一張八達通咭，因為東鐵線的系統在出閘 1 分鐘內是不能再入閘的）登上原車！

Elementary Proof of "Sum Of Reciprocals Of All Primes Are Divergent"

兩個月前有兩位朋友講關於證明 "Sum Of Reciprocals Of All Primes Are Divergent"（若設 p_k 為第 k 個質數，"Sum Of Reciprocals Of All Primes"就是 1 / p₁ + 1 / p₂ + 1 / p₃ + ...）。我向他們說我有這個定理的elementary proof。昨日終於找到了。

中學生可能不太明白我在講甚麼，所以先解一解題。有一些series，如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，可以知道這個series的和是有限的，而且upper bound是2。而且也可以看到它與 2 是越來越接近的，亦即是數學上所講的趨向 2。這類與某個數越來越接近的series，我們叫它convergent series。

但另一些series，如 1 + 2 + 3 + ...，可以見到當項數越來越多時，它的值會越來越大，而且無upper bound，這類series我們叫它divergent series。

那麼， 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 是convergent series還是divergent series呢？答案是divergent的，證明的idea就是證明它是無upper bound的，有興趣者可以試一試寫出證明。順帶一提，這個series是有名堂的，叫harmonic series。

1 / p₁ + 1 / p₂ + 1 / p₃ + ...也是divergent的。這並不明顯，因為質數比整數疏得多，也就是說 1 / p₁ + 1 / p₂ + 1 / p₃ + ... 比 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 少了很多項。現在寫出證明於PDF檔內（英文）。

順帶賣賣廣告，以上的PDF檔是用OpenOffice.org的Writer弄出來的。看起來還不錯吧？ ^.^

車公廟求籤

　　鼠年伊始，謹在此祝賀大家新年進步，心想事成！

　　自 1998 年起，政府或鄉議局總會派代表在大年初二到車公廟為香港求籤。兩天前的大年初二，鄉議局主席劉皇發求籤時，《明報》記者從相片發現籤筒裏的籤數不足全數 96 枝。今天《明報》報道他們再到過車公廟抽樣檢查了 8 個籤筒，發現只有一半完全準確（即齊備 96 枝不同的籤），而其他 4 個有缺漏或重覆。究竟籤筒裏的竹籤「不合規格」，會否影響求籤時得到各枝籤的概率呢？

　　如果籤筒經過刻意的處理，例如取走所有下籤和中籤，概率顯然受影響。但如果缺漏或重覆純粹因為善信取走他們求得的籤，又或不慎把求得籤放在其他籤筒裏呢？原來只要原來的籤筒符合規格，這兩件事都不會影響求得各枝籤的概率！

　　我不打算在此寫出嚴謹的證明，只想提出證明的重點，餘下部分讓讀者填空。假設某符合規格的籤筒不慎被先來的善信取走了一枝籤。如果取走了的籤是 1、2、3、……、94 或 95 號（概率為 95/96），後來的善信求籤時，因為籤筒只餘 95 枝籤，所以求得 96 號的概率會由原來的 1/96 升至 1/95。反之，如果取走了的籤是 96 號（概率為 1/96），再求得 96 號籤的概率明顯是 0。因此，後來的善信求得 96 號籤的機會是 95/96 × 1/95 + 1/96 × 0 = 1/96，與從合格的籤筒求籤的概率相同。

　　由上述的例子可知，隨機抽走一枝籤不會影響求籤的概率。我們同理可證隨機多放一枝籤亦不影響求籤。更有趣的是，只要小心運用數學歸納法，不難發現只要原來的籤筒符合規格，而取走或多放籤的過程都是隨機的，籤筒裏籤的分佈根本與求得各籤的概率無關。換言之，即使籤筒裏只有一枝籤也沒問題！

　　如果你相信沒有人刻意改變籤筒的籤，下次到車公廟求籤時，便不用計較籤筒裏的籤數多了或少了。

　　順道賣廣告。如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！

從「0」開始

很小的時候，就發現 0 這個數很特別：計算機告訴我，對於任何 n，0 乘以 n 和 n 乘以 0 都是 0；0 除以 n 也是 0（這裡 n 必須非零），可是 n 除以 0 卻是「-E-」（即「error」，當時我理解作「無限」）。

在接受 0 乘以 n 和 n 乘以 0 都是 0 的前題下，要理解以上有關除法的現象就不困難了：「0 除以 n」也就是問「n 乘以多少是 0」，那自然是 0 了；「n 除以 0」也就是問「0 乘以多少是 n」，但這樣的數不存在，所以也就是「error」了。

記得在小學階段，「0」的角色並沒有得到應有的重視，很多同學（甚至老師？）都認為 n 除以 0 等於 0。此外，教授 11 的整除性時，課本是這樣寫的：「如果某數奇數位之和等於偶數位之和，或兩者之差是 11 的倍數，則某數可被 11 整除」。

很明顯，前者是多餘的條件，因為「奇數位之和等於偶數位之和」也就是說兩者之差為 0，而 0 不就是 11 的倍數嗎？課本這樣寫，很可能是刻意避開有關 0 的整除性的問題。也很可能是這個原因，很多中學生對 0 的整除性這個概念都是一知半解。

以下幾題是非題，可以測試一下大家對以上概念是否清楚：

(1)　0 是 5 的倍數
(2)　5 是 0 的倍數
(3)　0 是 5 的因數
(4)　5 是 0 的因數
(5)　0 可被 5 整除
(6)　5 可被 0 整除

答案：

(1)　正確（5 的 0 倍是 0）
(2)　錯誤（0 乘以任何整數都不等於 5）
(3)　錯誤（跟第 2 題相同）
(4)　正確（跟第 3 題相同）
(5)　正確（跟第 3 題相同）
(6)　錯誤（跟第 2 題相同）

佢未必係生果讀者！

最近生果報在港鐵有一系列的廣告，其中一幅就是廣告的中間有一個男人說請食飯，然後旁邊有幾個人來一個「設計對白」：「又請」。廣告右上角寫著：「佢梗係生果讀者！」然後引述一間調查機構的報告，指高收入人士中最多人看生果報。

「佢梗係生果讀者」的意思就是基於廣告描述他是一個高收入人士，故他是生果報的讀者的機會率是1。當然，心水清的朋友已經意會到這是誇張，因為生果報在高收入人士中的市場佔有率根本就不是100%。

但若果生果報真的在高收入人士的市場佔有率是100%，又是否代表那個請食飯的男人一定是生果報的讀者呢？

不是。因為我們還不知道香港的高收入人士中有多少人會買報紙看。若然香港每100個高收入人士中，只有40個會買報紙，那麼即使生果報在高收入人士的市場佔有率真的是100%，那也只代表香港只有40%的高收入人士是生果報的讀者。因此，那個請食飯的男人是生果報讀者的機會率就只有0.4。

香港是一個商業社會，到處都是廣告，我們不難找到當中涉及具誤導性的對白，例如「物件A比其他同類產品的堅硬度多出3倍」、「公司B和公司C的銷售同類產品中，公司B的營業額比公司C高50%」。前者我們根本不知道他們怎樣量度「堅硬度」，而後者隱藏了產品的單價。若公司B的產品單價是公司C的產品單價的2倍，那麼該句對白其實表示了公司B賣出的產品數目比公司C少25%。

如果你是中學生的話，不妨考慮以上述主題撰文參加數學資料庫網站資源創作比賽 2007/08 呢！