2008年2月19日 星期二

三角不等式

三角不等式指出,在一個三角形中,任何兩邊的長度之和均大於第三條邊,即若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c,則必有 a+b>c、b+c>a 和 c+a>b。

直觀地說,三角不等式所說的其實是「連起兩點的直線是兩點之間的最短距離」。這件事大家都知道,而且動物也知道:一隻在 A 點的動物看到 B 點有食物的話,牠會以直線從 A 點走到 B 點,不會繞圈子的。

三角不等式及其變型在數學上有很多應用,例如:
  • 以三角不等式證明其他不等式,例如:若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c,則可證明
a2b(a-b) + b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ 0
  • 對任意複數 z 和 w,我們有
|z+w| ≦ |z|+|w| 和 |z-w| ≧ ||z|-|w||
  • 若 d(a,b) 表示兩個位數相同的整數 a 和 b 有多少個數字不同(例如:d(12,34)=2;d(12345,13446)=3 等等),則對任意三個位數相同的整數 x、y、z 皆有
d(x,y) ≦ d(x,z) + d(y,z)

在日常生活中,我們也有類似的概念:如果兩人分別坐計程車,一人從尖沙咀直接到旺角、另一人先從尖沙咀到紅磡再從紅磡到旺角的話,前者的車費應該較後者便宜。如果以 d 表示距離或車費,則這可寫成

d(尖沙咀,旺角) ≦ d(尖沙咀,紅磡) + d(紅磡,旺角)。

可是很奇怪,現時的港鐵車費並不滿足三角不等式,而且有很多不滿足三角不等式的例子,以下列出幾個:











































車票種類路線 1路線 1 車費
(港元)
路線 2路線 2 車費
(港元)
成人八達通尖東 → 羅湖34.8尖東 上水
上水 → 羅湖
10.8 + 18.8 = 29.6
學生八達通馬鞍山 尖沙咀10.4馬鞍山 佐敦
佐敦 尖沙咀
7.7 + 2.3 = 10.0
成人八達通元朗 荃灣15.9元朗 荃灣西
荃灣西 荃灣
10.7 + 3.6 = 14.3
學生八達通屯門 落馬洲44.8屯門 粉嶺
粉嶺 落馬洲
17.3 + 18.8 = 36.1
成人八達通屯門泳池 濕地公園5.8屯門泳池 屯門
屯門 兆康
兆康 濕地公園
0.0* + 3.7 + 0.0* = 3.7
* 輕鐵與西鐵線之轉乘優惠

也就是說,假如你持成人八達通從尖東到羅湖的話,本來是不用轉車的,可是如果在上水「轉車」的話,即可省回 5.2 元車費!據觀察,有些「經驗豐富」的人甚至不用「轉車」,他們會準確地計算閘機的位置,列車一到達上水站便出閘,再立即以另一張八達通咭入閘(必須使用另一張八達通咭,因為東鐵線的系統在出閘 1 分鐘內是不能再入閘的)登上原車!

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