三角不等式

三角不等式指出，在一個三角形中，任何兩邊的長度之和均大於第三條邊，即若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則必有 a+b>c、b+c>a 和 c+a>b。

直觀地說，三角不等式所說的其實是「連起兩點的直線是兩點之間的最短距離」。這件事大家都知道，而且動物也知道：一隻在 A 點的動物看到 B 點有食物的話，牠會以直線從 A 點走到 B 點，不會繞圈子的。

三角不等式及其變型在數學上有很多應用，例如：

• 以三角不等式證明其他不等式，例如：若一個三角形的三邊分別長 a、b 和 c，則可證明
  

a²b(a-b) + b²c(b-c) + c²a(c-a) ≥ 0

• 對任意複數 z 和 w，我們有
  

|z+w| ≦ |z|+|w| 和 |z-w| ≧ ||z|-|w||

• 若 d(a,b) 表示兩個位數相同的整數 a 和 b 有多少個數字不同（例如：d(12,34)=2；d(12345,13446)=3 等等），則對任意三個位數相同的整數 x、y、z 皆有

d(x,y) ≦ d(x,z) + d(y,z)

在日常生活中，我們也有類似的概念：如果兩人分別坐計程車，一人從尖沙咀直接到旺角、另一人先從尖沙咀到紅磡再從紅磡到旺角的話，前者的車費應該較後者便宜。如果以 d 表示距離或車費，則這可寫成

d(尖沙咀,旺角) ≦ d(尖沙咀,紅磡) + d(紅磡,旺角)。

可是很奇怪，現時的港鐵車費並不滿足三角不等式，而且有很多不滿足三角不等式的例子，以下列出幾個：

車票種類	路線 1	路線 1 車費 （港元）	路線 2	路線 2 車費 （港元）
成人八達通	尖東 → 羅湖	34.8	尖東 → 上水 上水 → 羅湖	10.8 + 18.8 = 29.6
學生八達通	馬鞍山 → 尖沙咀	10.4	馬鞍山 → 佐敦 佐敦 → 尖沙咀	7.7 + 2.3 = 10.0
成人八達通	元朗 → 荃灣	15.9	元朗 → 荃灣西 荃灣西 → 荃灣	10.7 + 3.6 = 14.3
學生八達通	屯門 → 落馬洲	44.8	屯門 → 粉嶺 粉嶺 → 落馬洲	17.3 + 18.8 = 36.1
成人八達通	屯門泳池 → 濕地公園	5.8	屯門泳池 → 屯門 屯門 → 兆康 兆康 → 濕地公園	0.0* + 3.7 + 0.0* = 3.7

* 輕鐵與西鐵線之轉乘優惠

也就是說，假如你持成人八達通從尖東到羅湖的話，本來是不用轉車的，可是如果在上水「轉車」的話，即可省回 5.2 元車費！據觀察，有些「經驗豐富」的人甚至不用「轉車」，他們會準確地計算閘機的位置，列車一到達上水站便出閘，再立即以另一張八達通咭入閘（必須使用另一張八達通咭，因為東鐵線的系統在出閘 1 分鐘內是不能再入閘的）登上原車！