斐波那契數列、黃金比與數學研究

相信大家都聽過斐波那契數列：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

這個數列可謂博大精深，皆因它蘊含了很多數學和非數學的元素，與其相關的材料足以編寫一部百科全書。舉例說，如果我們考慮每項與前一項的比，即 1/1、2/1、3/2、5/3、…，我們會發現這個比值趨向 1.61803...，這就是著名的黃金比，在自然界經常可以發現它的足跡。

利用斐波那契數列和黃金比，我們可以做些小研究，往往會得到一些有趣的小發現。這樣的小研究不但可以培養創意，更有助建立對數字的敏銳觸覺，對學習數學和日常生活都有所裨益。而且這些小研究也不用太多基礎知識，即使是小學生，只要抱著好奇探究的精神便可進行。以下舉一個例子。

設 x 代表黃金比 1.61803...，如果嘗試取倒數的話，我們會發現 x^-1 = 0.61803...，剛好比 x 小了 1。（如果具備二次方程的知識的話，應該不難看出箇中的因由；但即使對於年紀較小的學生，這也不失為一個有趣的發現。）那麼我們可以追問，如果不是每項與前一項的比，而是每項與前兩項的比（即 2/1、3/1、5/2、8/3、…）呢？透過簡單分析（或嘗試）不難得知這個比值趨向 x² = 2.61803...，剛比 x 大了 1，而取倒數則有 x^-2 = 0.38196...，由此可知 x² + x^-2 = 3！

這時我們很自然會嘗試玩弄一下 x 的更高次冪：

　　x¹ = 1.61803...　　x^-1 = 0.61803...
　　x² = 2.61803...　　x^-2 = 0.38196...
　　x³ = 4.23606...　　x^-3 = 0.23606...
　　x⁴ = 6.85410...　　x^-4 = 0.14589...
　　x⁵ = 11.09016...　　x^-5 = 0.09016...
　　x⁶ = 17.94427...　　x^-6 = 0.05572...

大家有甚麼發現？對了，對奇數的 n，xⁿ - x^-n 是整數；對偶數的 n，xⁿ + x^-n 是整數！如果我們分別計算出這些整數的的話，我們發現它們竟然組成一個似曾相識的數列：

1, 3, 4, 7, 11, 18, ...

這個數列跟斐波那契數列一樣，每項（除首兩項外）均等於它之前兩項之和！大家不妨嘗試對此作出嚴謹證明！

除以上發現外，斐波那契數列還有很多有趣的性質，例如：第 5、10、15、… 項似乎都是 5 的倍數，其他都不是 5 的倍數；第 4、8、12、… 項似乎都是 3 的倍數，其他都不是 3 的倍數。當然這不是甚麼驚世大發現，甚至在很多書本或網頁中可以找到。但與其閱讀別人的成果，大家倒不如 DIY 一下，找出更多有趣的性質並嘗試作出證明吧！

招聘廣告 Recruitment Advertisement

數學資料庫現正招聘兼職助理一名，詳情可參閱此PDF檔。

MD is now hiring a part-time assistant. For details, please see this pdf file.

Cute presentations of advanced theorems

Here's a website in which some advanced theorems were manifested in a cute way!

http://www.theoremoftheday.org/index.html

The treatment is similar to MD's "Math Tips" 「數學小提示」.

網站資源創作比賽結果

由去年十一月發信到學校、等待作品的遞交，到二月尾後又要處理作品的文書工作，再經鄭紹遠教授、李健賢教授、歐國強教授和張家麟博士及MD的會員的評審，2007/08的網站資源創作比賽獎項花落誰家終於都塵埃落定。

大家可以到網頁 http://db.math.ust.hk/competition/essay/0708/c_result.htm 瀏覽比賽結果。當中不少的作品都很不俗，我們再過一些時間就會把作品上載，大家就可以欣賞得獎者的佳作了。

在2008年5月31日下午2時至4時，數學資料庫會在香港科技大學周德新講堂（LT-G）舉行頒獎典禮。我們邀請了香港科技大學數學系陳炯林教授以"Academic Excellence, Social Responsibility, and Science"為題作公開講座。詳情可按此瀏覽。

是次活動歡迎公眾參加。如有任何疑問，可發電郵到 mdwrc08@gmail.com 查詢。

An interesting exact sequence

Today in the common room I saw the following exact sequence:

1 -> boring stuff -> life -> math -> 1

So life modulo boring stuff is math!

一條附加數學題

(a) 若給定了 n 個數字，設，證明當x是的平均值時，的數值最小。

註：就是中四、中五的學生在數學科學到的variance了（不記得中文名 >.<""）

(b) 設，證明或反證（prove or disprove）以下命題：當x是的平均值時，的數值最小。

---

以上的問法，放在會考附加數學卷是沒有問題的；最多只會被一些野蠻的學生批評為「唔standard」（猶指 (b)）罷了。

但，其實也可以這樣問。

(a) 平均值是不是令標準差最小呢？

這是我想到這條題目的靈感所在。這裏其實涉及兩個不同的思考。學生們大部分都知道怎樣用給定數據來計算平均值；這裏是指平均值是被計算出來的。這是第一種思考。

但(a)是將平均值當成一個變數，然後求極值問題。這是第二種思考。

(b) 證明了 (a) 後，學生可否推而廣之，想想是否亦在x取平均值時為最小呢？若4改為6、8，又如何？

公開試數學的題目主要兩種：一是計算；二是告訴你一個事實，要你證明它。但題目卻甚少要求學生自行判斷一個命題是否正確，然後作出證明/反證。

(c) 你覺得（x為平均值時）是一個代表判斷數據是否集中的好指標嗎？若你覺得這是好指標，詳加說明之；若你覺得這不是好指標，請解釋，並嘗試「改良」它。

在現實生活中，你做的決定並不是每一個都是循規蹈矩、有前車可鑑的；這也是人類發揮腦袋裏的創意的時候。這時很多方法在腦袋中出現，但並不是每一個都是好的；所以當你腦裏有一個方法時，同時你亦需要判斷一個方法好不好。這時考慮就需要周全；對一個情況是好並不代表對另一個方法都好。補習時偶然會見到一個情況。學生判斷一個命題是否正確時，往往就是代一組數進去，符合了就說命題正確，錯了就說命題錯誤。

若方法不好，有時我們會想另一個方法，有時我們會改良。

數學歷史故事（二）

這是上functional analysis聽到的另一個故事，得啖笑。

話說波蘭有一間大學，學者喜歡在下午到一間cafe（不明所以地，叫做Scottish Cafe）討論數學問題。有一些數學問題是很難的，於是某些學者便說能解某題就有某某獎品。

有一個學者叫Stanislaw Mazur（他是Banach的學生），在1936年亦問了一個很難的問題，而獎品是……一隻生鵝……

一直到1972年，才有一個瑞典的數學家Per Enflo給出證明。Per Enflo到了Warsaw University講解他的證明，而後來，他帶了一隻生鵝回瑞典……

有相為證：http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Mazur.html

今年Pure Maths卷

今年Pure Maths Paper I，出了兩題被認為「唔standard」的題目。而這兩題的來源我雖然未敢確定，但即管在這裏估一估。

第一題涉及一個多項式（polynomial） p(x) 和一條關係式 ，也給定了 。嘗試一下iterate這條式，你應該會發現到：





一般來說就是對於整數的x，。（下稱每項的power作n）如果將n=100改為1、2或者3，我相信很多有讀附加數學和純數學的人也會記得 p(x) 應該是甚麼吧。我猜這題的idea可能就是源於此。

查一查wikipedia，當n=100變成2、4、6時，p(x) 都會被 (2x+1) 除盡。而這題高考題目也証明了當 n=100 時，p(x) 也會被 (2x+1) 除盡。這時，你可能會猜當 n 為雙數時，p(x) 都能被 (2x+1) 整除。這是不是真呢？就靠你自己証明或舉出反例了。

---

另一題其大意應該是的奇偶性。如果有玩過 HKMO 做過 past paper 的話，應該記得有類似以下這一題的題目吧：

求與最接近的整數。

出卷之人是否借用 MO 的題目的概念，不得而知。