數學資料庫手記: 今年Pure Maths卷

2008年5月2日星期五

今年Pure Maths卷

今年Pure Maths Paper I，出了兩題被認為「唔standard」的題目。而這兩題的來源我雖然未敢確定，但即管在這裏估一估。

第一題涉及一個多項式（polynomial） p(x) 和一條關係式 $p(x)=p(x-1)+x^{100}$ ，也給定了 $p(1)=1$ 。嘗試一下iterate這條式，你應該會發現到：

$p(1)=1^{100}$
$p(2)=1^{100}+2^{100}$
$p(3)=1^{100}+2^{100}+3^{100}$

一般來說就是對於整數的x， $p(x)=1^{100}+2^{100}+\cdots+x^{100}$ 。（下稱每項的power作n）如果將n=100改為1、2或者3，我相信很多有讀附加數學和純數學的人也會記得 p(x) 應該是甚麼吧。我猜這題的idea可能就是源於此。

查一查wikipedia，當n=100變成2、4、6時，p(x) 都會被 (2x+1) 除盡。而這題高考題目也証明了當 n=100 時，p(x) 也會被 (2x+1) 除盡。這時，你可能會猜當 n 為雙數時，p(x) 都能被 (2x+1) 整除。這是不是真呢？就靠你自己証明或舉出反例了。