一條附加數學題

(a) 若給定了 n 個數字，設，證明當x是的平均值時，的數值最小。

註：就是中四、中五的學生在數學科學到的variance了（不記得中文名 >.<""）

(b) 設，證明或反證（prove or disprove）以下命題：當x是的平均值時，的數值最小。

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以上的問法，放在會考附加數學卷是沒有問題的；最多只會被一些野蠻的學生批評為「唔standard」（猶指 (b)）罷了。

但，其實也可以這樣問。

(a) 平均值是不是令標準差最小呢？

這是我想到這條題目的靈感所在。這裏其實涉及兩個不同的思考。學生們大部分都知道怎樣用給定數據來計算平均值；這裏是指平均值是被計算出來的。這是第一種思考。

但(a)是將平均值當成一個變數，然後求極值問題。這是第二種思考。

(b) 證明了 (a) 後，學生可否推而廣之，想想是否亦在x取平均值時為最小呢？若4改為6、8，又如何？

公開試數學的題目主要兩種：一是計算；二是告訴你一個事實，要你證明它。但題目卻甚少要求學生自行判斷一個命題是否正確，然後作出證明/反證。

(c) 你覺得（x為平均值時）是一個代表判斷數據是否集中的好指標嗎？若你覺得這是好指標，詳加說明之；若你覺得這不是好指標，請解釋，並嘗試「改良」它。

在現實生活中，你做的決定並不是每一個都是循規蹈矩、有前車可鑑的；這也是人類發揮腦袋裏的創意的時候。這時很多方法在腦袋中出現，但並不是每一個都是好的；所以當你腦裏有一個方法時，同時你亦需要判斷一個方法好不好。這時考慮就需要周全；對一個情況是好並不代表對另一個方法都好。補習時偶然會見到一個情況。學生判斷一個命題是否正確時，往往就是代一組數進去，符合了就說命題正確，錯了就說命題錯誤。

若方法不好，有時我們會想另一個方法，有時我們會改良。