斐波那契數列、黃金比與數學研究

相信大家都聽過斐波那契數列：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

這個數列可謂博大精深，皆因它蘊含了很多數學和非數學的元素，與其相關的材料足以編寫一部百科全書。舉例說，如果我們考慮每項與前一項的比，即 1/1、2/1、3/2、5/3、…，我們會發現這個比值趨向 1.61803...，這就是著名的黃金比，在自然界經常可以發現它的足跡。

利用斐波那契數列和黃金比，我們可以做些小研究，往往會得到一些有趣的小發現。這樣的小研究不但可以培養創意，更有助建立對數字的敏銳觸覺，對學習數學和日常生活都有所裨益。而且這些小研究也不用太多基礎知識，即使是小學生，只要抱著好奇探究的精神便可進行。以下舉一個例子。

設 x 代表黃金比 1.61803...，如果嘗試取倒數的話，我們會發現 x^-1 = 0.61803...，剛好比 x 小了 1。（如果具備二次方程的知識的話，應該不難看出箇中的因由；但即使對於年紀較小的學生，這也不失為一個有趣的發現。）那麼我們可以追問，如果不是每項與前一項的比，而是每項與前兩項的比（即 2/1、3/1、5/2、8/3、…）呢？透過簡單分析（或嘗試）不難得知這個比值趨向 x² = 2.61803...，剛比 x 大了 1，而取倒數則有 x^-2 = 0.38196...，由此可知 x² + x^-2 = 3！

這時我們很自然會嘗試玩弄一下 x 的更高次冪：

　　x¹ = 1.61803...　　x^-1 = 0.61803...
　　x² = 2.61803...　　x^-2 = 0.38196...
　　x³ = 4.23606...　　x^-3 = 0.23606...
　　x⁴ = 6.85410...　　x^-4 = 0.14589...
　　x⁵ = 11.09016...　　x^-5 = 0.09016...
　　x⁶ = 17.94427...　　x^-6 = 0.05572...

大家有甚麼發現？對了，對奇數的 n，xⁿ - x^-n 是整數；對偶數的 n，xⁿ + x^-n 是整數！如果我們分別計算出這些整數的的話，我們發現它們竟然組成一個似曾相識的數列：

1, 3, 4, 7, 11, 18, ...

這個數列跟斐波那契數列一樣，每項（除首兩項外）均等於它之前兩項之和！大家不妨嘗試對此作出嚴謹證明！

除以上發現外，斐波那契數列還有很多有趣的性質，例如：第 5、10、15、… 項似乎都是 5 的倍數，其他都不是 5 的倍數；第 4、8、12、… 項似乎都是 3 的倍數，其他都不是 3 的倍數。當然這不是甚麼驚世大發現，甚至在很多書本或網頁中可以找到。但與其閱讀別人的成果，大家倒不如 DIY 一下，找出更多有趣的性質並嘗試作出證明吧！