托運行李箱

小弟將移居西雅圖，有超多物品要由香港搬走。由於想盡量托運多些行李，故特意於兩間售賣行李箱的店舖逛逛，搜集了一些第一手資料：

1 號行李箱 : 12 x 21 x 30 吋
2 號行李箱 : 10 x 18 x 26 吋
3 號行李箱 : 11 x 20 x 30 吋
4 號行李箱 : 9 x 15 x 23 吋
5 號行李箱 : 12 x 19 x 29 吋
6 號行李箱 : 11 x 16 x 25 吋

航空公司托運行李的限額是：
每人免費托運兩件各重 23 公斤的行李 (四月中前是 32 公斤的!!)
兩件長闊高之總和不可超過 107 吋，其中一件長闊高之和不可超過 62 吋。

要買那(兩)個行李箱，才可托運最多行李？朋友覺得「買兩個一樣大的中型行李箱」 比 「買一個大和一個小」 好，你認為如何？


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設 x, y, z 是第一個行李箱的尺寸，a, b, c 是第二個行李箱的尺寸。不妨假設 x+y+z >= a+b+c 。若只考慮體積，以上問題是

已知 x+y+z+a+b+c <= 107 ，且 x+y+z <= 62 ，求 xyz+abc 的最大值。

用 AM-GM 不等式，我們知道取得最大值時， x=y=z 且 a=b=c 。(為什麼沒有 Cube 形的行李箱 ga! T口T~~~ 如果大家知道哪裡有一些近似 Cube 的行李箱，煩請告知。不勝感激!)

經過計算，最大值當且僅當 x=y=z=62/3 和 a=b=c=45/3 時成立，且答案是 12201.963 (準確至小數點後 3 位) 。大家不妨驗證。 換句話說，若只考慮體積，「買一個大型行李箱和一個小型行李箱」 比 「買兩個一樣大的中型行李箱」好。

暫時我的方案是：買 2 號和 5 號行李箱，5 號裝一些較輕的東西，2 號裝一些較重的東西。(希望航空公司不會檢查長闊高，查的話即場把 2 號換成一個更小的行李箱，心痛地放棄部分書本)。