2008年6月6日 星期五

數學習慣

通常真正的數學人總會有一些奇怪的數學習慣。

小時對數字的觸覺很敏感。打從小四(還是小五?)學了怎樣判斷一個數是否9的倍數的方法後,已經自己參透了一個數除9的餘數和數字和除9的餘數是一樣的。於是,在街上走著,一見到一些數字,例如車牌、電話,就會心算這些數字除9的餘數。

因為只需計算數字和除9的餘數,所以當見到數字當中有9或一些和是9的倍數的數字,就可以不理,在心裏面算行刪去——好像見到「1、2、6」、「7、7、4」等。問題來了:有電話號碼是不可以使用這個技巧的嗎?

例子是有的,例如11111111、44444444等(不過這些似乎都不是香港登記的電話號碼;題外話,以前有一個無聊的鬼故,說夜晚打電話不斷按1,會駁通到陰曹地府……不過這仍然不是香港登記的電話號碼。)。香港的電話號碼都是8位數,有興趣的人可以想想,除了8個連續一樣的數字外,還有別的數字是不可以使用第二段提過的技巧加快運算嗎?

4 則留言:

Andy Chan 提到...

我將你的問題看成這樣:

「如果某八位數的任何 n 個連續數字之和都不是 9 的倍數(1 ≤ n ≤ 8),則該八位數是「好數」。求好數的數量。」

這個問題不難。設某八位數的首 k 個數字之和被 9 除的餘數是 r_k。明顯地,該數是好數的充分必要條件是 r_1、r_2、r_3、r_4、r_5、r_6、r_7 和 r_8 皆非零而且兩兩不同。因為 r_k 只有 8 個非零的選擇(1 至 8),答案是 8! = 40320。

另外,如果你容許整個八位數是 9 的倍數而當中任何連續 n 個數字之和(1 ≤ n ≤ 7)都不是 9 的倍數(例如 11111112),答案則是 8! + 8P7 = 80640。

Marco_Dick 提到...

唉,你剛剛浪費了一題可以出培正或IMO Prelim的題目了。

不過我的原意並不是「任何 n 個連續數字之和都不是 9 的倍數」,而是「任何 n 個數字組成的multiset都不是 9 的倍數」。例如17355388,它沒有任何 n 個連續數字之和是 9 的倍數,但可以找到「1、7、5、5」之和是 18 ,可以刪去。

Andy Chan 提到...

如果你要求任意 n 個數字之和都不是 9 的倍數(其中 1 ≤ n ≤ 8),這樣的八位數只有 6 個(11111111、22222222、44444444、55555555、77777777 和 88888888)。

如果你要求任意 n 個數字之和都不是 9 的倍數(其中 1 ≤ n7),這樣的八位數只有 48 個(11111112、22222224、44444448、55555551、77777775、88888887 及它們的排列,如 12111111 和 22222242)。

證明不難,從略。

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