通常真正的數學人總會有一些奇怪的數學習慣。
小時對數字的觸覺很敏感。打從小四（還是小五？）學了怎樣判斷一個數是否9的倍數的方法後，已經自己參透了一個數除9的餘數和數字和除9的餘數是一樣的。於是，在街上走著，一見到一些數字，例如車牌、電話，就會心算這些數字除9的餘數。
因為只需計算數字和除9的餘數，所以當見到數字當中有9或一些和是9的倍數的數字，就可以不理，在心裏面算行刪去——好像見到「1、2、6」、「7、7、4」等。問題來了：有電話號碼是不可以使用這個技巧的嗎？
例子是有的，例如11111111、44444444等（不過這些似乎都不是香港登記的電話號碼；題外話，以前有一個無聊的鬼故，說夜晚打電話不斷按1，會駁通到陰曹地府……不過這仍然不是香港登記的電話號碼。）。香港的電話號碼都是8位數，有興趣的人可以想想，除了8個連續一樣的數字外，還有別的數字是不可以使用第二段提過的技巧加快運算嗎？
3 則留言:
我將你的問題看成這樣：
「如果某八位數的任何 n 個連續數字之和都不是 9 的倍數（1 ≤ n ≤ 8），則該八位數是「好數」。求好數的數量。」
這個問題不難。設某八位數的首 k 個數字之和被 9 除的餘數是 r_k。明顯地，該數是好數的充分必要條件是 r_1、r_2、r_3、r_4、r_5、r_6、r_7 和 r_8 皆非零而且兩兩不同。因為 r_k 只有 8 個非零的選擇（1 至 8），答案是 8! = 40320。
另外，如果你容許整個八位數是 9 的倍數而當中任何連續 n 個數字之和（1 ≤ n ≤ 7）都不是 9 的倍數（例如 11111112），答案則是 8! + 8P7 = 80640。
唉，你剛剛浪費了一題可以出培正或IMO Prelim的題目了。
不過我的原意並不是「任何 n 個連續數字之和都不是 9 的倍數」，而是「任何 n 個數字組成的multiset都不是 9 的倍數」。例如17355388，它沒有任何 n 個連續數字之和是 9 的倍數，但可以找到「1、7、5、5」之和是 18 ，可以刪去。
如果你要求任意 n 個數字之和都不是 9 的倍數（其中 1 ≤ n ≤ 8），這樣的八位數只有 6 個（11111111、22222222、44444444、55555555、77777777 和 88888888）。
如果你要求任意 n 個數字之和都不是 9 的倍數（其中 1 ≤ n ≤ 7），這樣的八位數只有 48 個（11111112、22222224、44444448、55555551、77777775、88888887 及它們的排列，如 12111111 和 22222242）。
證明不難，從略。
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