"Generalize"的雜談（一）

唸了數學多年，其實數學上很多問題都是源自數學家對問題或解法的generalizaion。

舉一個大部分中學生都明白的例子。在我還是讀小學的時候，我聽過了Gauss怎樣用巧妙的方法計算 1+2+3+...+100的值。還記得嗎？他的做法就是把數式倒轉寫一次：

1 + 2 + 3 + ... + 100
100+ 99 + 98 + ... + 1

然後發現一上一下的兩個數和都是101。而這裏有100對，所以總和是101 * 100 = 10100。因為算式總共加了兩次，所以答案是5050。這種配對（pairing）的方法，在現時的奧數訓練可謂必修，但並不一定用在計數列之上。在組合數學中，配對也是一種常用的方法；組合數學裏的這個方法被給了一個名稱：一一對應。這樣可以說是一種解法的generalization。

第一段說了有問題和解法的generalization。解法的generalization上一段已經給了一個例子。而問題的generalization呢？例子多的是。有讀附加數的學生在讀數學歸納法（Mathematical Induction）時，一定對的公式不陌生。但你們有沒有想過，那個已經給了你的別人是怎樣求出來的？進一步可以問：當時，有沒有"closed form"呢？這就是最簡單對問題的generalization：當解決了一個「細數字」的問題時，考慮一下「大數字」的問題。

有些時候，我們可以從「細數字問題」的解題中看到解決「大數字問題」的竅門。但上面這個問題，配對這個方法並行不通；這個時候就是數學家研究出其他方法的show time。好像上一段的問題，原來可以輕易地用binomial theorem解決；而且，對於任何 k 的方法都是類似的。

不過並不是所有「大數字問題」都可從「細數字問題」的題解中偷師。數學歷史上甚至出現過一個問題，它的二維、四維、五維、六維等打後的情況在很早就被解決，唯獨是三維的情況卻非常困難，甚至考起了數學家足足200年之久。這就是著名的龐卡萊猜想（Poincare conjecture）了。

說起維數的generalization，得說說一個數學笑話。有說一個數學家叫A. Coble，做代數幾何的，據稱他有無窮個博士論文的題目。當一個博士生解決了問題的二維情況時，他就叫下一個博士生做三維情況，再叫下下一個博士生做四維情況。後來有一個叫Gerald Huff的人，不但解決了五維情況，而其他更大維數的情況也解決了。這讓A. Coble未來的博士學生無所事事。這令A. Coble很怒……